Типы отображений

[Nurzery[Rhymes]]

Мне всегда трудно было уловить разницу между типами отображений, потому что везде эта тема объясняется очень бегло и поверхностно. Помогите, наконец, увидеть эту разницу и запомнить, чем различаются типа отображений.

Рассмотрим отображение $f:A \to B$
1) С биекцией все понятно. Это взаимно однозначное отображение, каждый элемент из $A$ имеет образ в $B$, а каждый элемент из $B$ имеет единственный прообраз в $A$. Биективность отображения говорит о том, что существует обратное к нему отображение.

2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$ и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?

3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$, иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?

[Diletant111]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):

2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$ и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?

Может мне и рано отвечать на подобные вопросы, но все же. Отображение является сюръективным, если каждый элемент множества A является образом хотя бы одного элемента множества B; то есть функция принимает все возможные значения: для всякого и без исключения --- в противном функция не сюръекьтивна. То есть вопрос "сколько" уже можно считать исчерпанным.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):

3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$, иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?

Очень странная формулировка. Отображение является инъективным, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы --- всего-то. То есть для каждого у из У определен единственный х из Х.

Я лично так это понимаю. Хотелось бы тоже разобраться, если ошибаюсь.

[Nemiroff]

$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

[VAL]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942562 писал(а):

Мне всегда трудно было уловить разницу между типами отображений, потому что везде эта тема объясняется очень бегло и поверхностно. Помогите, наконец, увидеть эту разницу и запомнить, чем различаются типа отображений.

2) Отображение называется сюръективным, если $f(A) = B$. О чем это мне должно сказать? Сколько образов может иметь элемент из $A$

Ровно один. И это никак не связано с сюръективностью, а следует из определения отображения.

Цитата:

и сколько прообразов может иметь элемент из $B$? Раз это не оговаривается, то любое количество?

Почти. Не менее одного.
Например, отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R$, заданное по правилу $f(x)=x^2$ - не сюръективно, поскольку у отрицательтных чисел нет прообразов.

Цитата:

3) Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны. Если так, то каждый элемент из $B$ имеет единственный образ в $A$

Здесь у Вас полнейшая путаница. У Вас рассматривается отображение из $A$ в $B$, а не наоборот. Поэтому можно говорить лишь о прообразах элементов из $B$, а не об их образах.

Цитата:

иначе не выполнялось бы условие "образы различных элементов различны". Самое странное отображение. В чем его отличие от сюръекции и биекции?

При сюръекции требуется, чтобы у каждого элемента из $B$ было не менее одного прообраза, а при инъекции наоборот - не более одного.
Ну а биекция, это просто инъекция и сюръекция одновременно.

-- 08 дек 2014, 21:52 --

Diletant111 в сообщении #942577 писал(а):

Может мне и рано отвечать на подобные вопросы

Безусловно рано.
Поэтому следовало ограничиться этим:

Цитата:

Хотелось бы тоже разобраться

[Munin]

Nemiroff в сообщении #942581 писал(а):

$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

А теперь расскажите столь же кратко и ёмко про мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм.

[Nemiroff]

М-м-м. Тут недавно была тема, в которой они были не кратко и не очень ёмко. topic89700.html
Причём с моно-, эпи-, би- всё не так однозначно. В случае алгебраических структур групп, это инъективный, сюръективный и биективный гомоморфизмы соответственно.

А ежели хочется страшного, то можно так.
$X \xrightarrow{f} Y$
— если для всех $A$ и для всех $\xymatrix{A\ar@/^5pt/@{->}[r]^(0.4){g}\ar@/_5pt/@{->}[r]_(0.4){h}&X}$ верно, что $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g=h$, то $f$ мономорфизм,
— если для всех $A$ и для всех $\xymatrix{Y\ar@/^5pt/@{->}[r]^(0.6){g}\ar@/_5pt/@{->}[r]_(0.6){h}&A}$ верно, что $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g=h$, то $f$ эпиморфизм,
биморфизм оставим в качестве упражнения

[Munin]

Nemiroff в сообщении #943352 писал(а):

В случае алгебраических структур, это инъективный, сюръективный и биективный гомоморфизмы соответственно.

А в случае категории Set?

[arseniiv]

Если по праву считать класс всех множеств вырожденной алгебраической структурой, в ней любая функция — гомоморфизм. Скукота!

[Nemiroff]

Аналогично. В смысле, инъекция, сюръекция и биекция.
Вот теперь думаю, как доказывать сюръекцию.

[arseniiv]

Ой, я спутал контекст в предыдущем ответе.

Nemiroff в сообщении #943379 писал(а):

Вот теперь думаю, как доказывать сюръекцию.

Для каждой точки $y\colon 1\to Y$ существует точка $x\colon 1\to X$, что $y = f\circ x$. А как к этому прийти, тоже застрял. А ведь где-то видел!

[Nemiroff]

Ну я осознал, наверное. Можно двухэлементное множество взять и показать, что индикатор равен тождественной функции.
А в обратную сторону очевидно.