Putnam 2014

[denisart]

Тут уже опубликовали. Думаю, нет смысла скрывать.

А1. Функция $(1-x+x^2)e^x$ разложена в ряд Тейлора в точке $x=0$ (по степеням $x$).
Докажите, что каждый коэффициент есть (несократимая) рациональная дробь, числитель которой либо 1, либо простое число.

А2. Пусть $A$ - матрица размера $n\times n$, элемент которой в $i$-й строке и $j$-м столбце, $1\le i,j\le n$, равен $\min(i,j)$. Вычислите определитель
$\det(A).$

А3. Пусть $a_0=5/2$ и $a_k=a_{k-1}^2-2$ при $k\ge 1.$ Вычислите произведение $\prod_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac1{a_k}\right)$ в замкнутом виде.

А4. Пусть $X$ - случайная величина, принимающая неотрицательные целые значения, для которой $E[X]=1,$ $E[X^2]=2$ и $E[X^3]=5.$
(Здесь $E[Y]$ обозначает математическое ожидание случайной величины $Y.$)
Определите наименьшее возможное значение вероятности события $X=0.$


А5. Пусть $P_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}.$
Докажите, что если $j\ne k$ - различные натуральные числа, то многочлены $P_j(x)$ и $P_k(x)$ взаимно просты.

А6. Пусть $n$ - данное натуральное число. При каком наибольшем $k$ найдутся матрицы
$M_1,\dots,M_k$ и $N_1,\dots,N_k$ размера $n\times n$ с вещественными коэффициентами такие, что при всех $i$ и $j,$
произведение $M_iN_j$ имеет хотя бы один 0 на диагонали если и только если $i\ne j?$


В1. Назовём десятичным надразложением натурального числа $N$ выражение вида
$N=d_k10^k+d_{k-1}10^{k-1}+\cdots+d_0 10^0$, где $d_k\ne 0$ и $d_i\in\{0,1,2,\dots,10\}$ при всех $i.$ Например, натуральное число $N=10$ имеет
два десятичных надразложения: $10=10\cdot 10^1$ и обычное десятичное разложение $10=1\cdot 10^1+0\cdot 10^0.$
Какие натуральные числа имеют единственное десятичное надразложение?


В2. Пусть $f$ - функция, заданная на отрезке $[1,3]$, такая что $-1\le f(x)\le 1$ при всех $x$ и $\displaystyle \int_1^3f(x)\,dx=0.$
Найдите наибольшее возможное значение интеграла $\displaystyle\int_1^3\frac{f(x)}x\,dx$.


В3. Матрица $A$ размера $m\times n$ с рациональными элементами такова, что
среди абсолютных значений её элементов встречается хотя бы $m+n$ различных простых чисел. Докажите, что
ранк матрицы $A$ не меньше двух.


В4. Докажите, что при любом натуральном $n$ все корни многочлена $\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)}x^k$ вещественны.


В5. Даны натуральное $n$ и простое $p$. Патнис и Кита играют в следующую математическую игру. Они по очереди выбирают
элементы группы обратимых матриц размера $n\times n$ над полем $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ остатков по модулю
$p$. При этом
Нельзя выбирать элемент группы, который был выбран ранее (любым из игроков).
Каждый выбранный элемент должен коммутировать со всеми предыдущими выбранными элементами.
Проигрывает не имеющий хода.

Начинает Патнис. Кто выигрывает при правильной игре?

В6. Функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ такова, что для некоторой константы $K>0$ при всех $x,y\in [0,1]$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$.
Кроме того, для каждого рационального числа $r\in [0,1]$ найдутся целые числа $a$ и $b$ такие, что $f(r)=a+br.$
Докажите, что отрезок $[0,1]$ можно покрыть конечным количеством отрезков,
на каждом из которых функция $f$ линейна.

[cool.phenon]

Либо мне показалось, либо действительно в этом году задания проще, чем обычно

(Оффтоп)

я даже несколько решил

[denisart]

cool.phenon в сообщении #942601 писал(а):

Либо мне показалось, либо действительно в этом году задания проще, чем обычно

(Оффтоп)

я даже несколько решил

(Оффтоп)

Мне задачи в 2013 понравились больше. Тут многие делаются устно, и симпатичных мало