Теория множеств

[Qazed]

Здравствуйте, решил освоить теорию множеств, мат. логику и комбинаторику на школьном уровне. Прошу Вас помочь с некоторыми определениями, свойствами и т.д. Не буду создавать много тем, т.к. вопросы, на мой взгляд, для сколько-нибудь знающего больше меня человека, будут пустяковыми.

Вопрос 1.
По аналогии с "$<$" пытаюсь определить операцию $\subset$, аналогично "$ \le $" и "$ \subseteq $"

$$ A \subset B :\Leftrightarrow \forall x \; \exists y ((x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (y \in B \not \Rightarrow y \in A)) \qquad (1.1) $$

$$ A \subset B :\Leftrightarrow \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \wedge (A \ne B)) \qquad (1.2)$$

$$ A \subseteq B :\Leftrightarrow \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B) \qquad (2) $$

Правильны ли определения? Как лучше определить $\subset$?

-- 07.12.2014, 20:15 --

Вопрос 2.
В "Зориче" операция дополнения обозначается как $C_M A$, где $ A \subseteq M $, но я смог найти формулы для операции дополнения только с чертой. Переделал в следующий вид:

$$\overline{\overline{A}} = C_M(C_M A) = A \qquad (3)$$

$$ \overline{A \cup B} = C_M (A \cup B) = C_M A \cap C_M B \qquad (4) $$

$$ \overline{A \cap B} = C_M (A \cap B) = C_M A \cup C_M B \qquad (5) $$

Верны ли равенства $(3)$, $(4)$, $(5)$

[arseniiv]

Правильны, хотя:

• почему бы не упростить (1.2) до конца: $A\subset B :\Leftrightarrow A\subseteq B\wedge A\ne B$?
• $a\not\Rightarrow b$ — это ровно $a\wedge\neg b$. Вторая запись как будто понятнее выглядит, не знаю.

-- Вс дек 07, 2014 22:20:52 --

Qazed в сообщении #941920 писал(а):

Верны ли равенства $(3)$, $(4)$, $(5)$

В допущении того, что $A,B\subseteq M$ — точно верны.

[Qazed]

Большое спасибо!

[Qazed]

Вопрос 3.

Цитата:

Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами...

Существует ли закорючка для обозначения бинарного отношения? Например, при договорённости эквивалентны ли $(6.1)$, $(6.2)$ и $(6.3)$?

$$ \forall x \in M \colon xRx \qquad (6.1) $$

$$\forall x \in M \colon x \circ x \qquad (6.2)$$

$$\forall x \in M \colon x \diamond x \qquad (6.3) $$

[arseniiv]

Обычно конкретные бинарные отношения как раз всякими закорючками и отображаются: $<\;=\;\geqslant\;\subset\;\notin\;\mid\;\uparrow\uparrow\;\parallel\;\perp\;\stackrel{*}{\to}$ и т. д.. Кружочек $\circ$ обычно означает или композицию функций, или какую-нибудь неизвестную операцию; про ромб не знаю. Могу посоветовать окружать $R$ в \mathrel, тогда пробелы будут ставиться: $a\mathrel R b \wedge b\mathrel R a \Rightarrow a = b$.

А значки для отношения «в общем», но всё же не совсем любого, есть. Для отношений порядка $\prec$ всякие и иногда даже $<$. Для отношений эквивалентности $\sim, \equiv$.

[provincialka]

Я при необходимости использую буквы, например, $\rho$: то есть $a\mathrel\rho b$. И $R$ часто видела. Можно приспособить какой-нибудь квадратик, но в рукописном варианте он плохо смотрится.

Буквы мне нравятся еще и потому, что их можно использовать и для обозначения характеристической функции: $a\mathrel\rho b\Leftrightarrow \rho(a,b)=1$. Или даже $\rho(a,b)=0,62$, если отношение нечеткое.

[Qazed]

Спасибо за ответы. Позволю себе вольность и буду обозначать как $\diamond$, он и на письме выглядит очень недурно.

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 4.
Существуют значки обозначения для суммы, произведения, ... , объединения.

$$\sum \quad \prod \quad \bigcup $$

Используют следующие обозначения для логических операций?

$$ \bigwedge_{i=1}^n b_i \vdots a \iff a = \text{ОД}(b_1, \ldots, b_n) \qquad (7) $$

$$ M = \left \{ x \in U \colon \bigvee_{i=1}^n P_i(x) \right \} \qquad (8) $$

[arseniiv]

Редко попадались, но да.

Причину редкости попадания можно понять: если теория множеств неподалёку, можно записать $\bigvee\limits_{i\in I} A_i$ как $\exists i\in I\;(A_i)$, и соответственно с $\wedge,\forall$. Кстати, в одной книге (не новой) кванторы так и изображались как большие $\vee,\wedge$ — но история распорядилась иначе.

(Оффтоп)

Если так переписывать (ваши примеры стоит), захочется обозначение множества $\{n : n\in\mathbb Z\wedge a\leqslant n\leqslant b\}$ покороче. Некогда (и сейчас, наверно) было страшно распространено $\overline{a,b}$; можно также понадеяться на читателя и написать $\{a,\ldots,b\}$, если $a,b$ целые; ещё можно написать $a..b$ или даже $[a;b]\cap\mathbb Z$ (это уж точно будет всегда понятным, но зато не очень коротко). В любом случае, когда будете что-нибудь писать, стоит оговаривать все обозначения заранее, разве что кроме последнего.

[Qazed]

arseniiv, спасибо

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 5.
Существуют ли символы итераторы списков или последовательностей, или множеств? Например:

$$ \bigodot_{i=1}^n k_i := \{k_1; k_2; \ldots ; k_n\} \quad (9)$$

$$ \left| \bigodot_{i=1}^n k_i \right| = n \quad (10) $$

Или так:

$$ \bigotimes_{i=1}^n k_i := k_1; k_2; \ldots ; k_n \quad (11) $$

$$ \text{НОД}\left( \bigotimes_{i=1}^n k_i \right) = 1 \quad (12) $$

P.S. Надеюсь я правильно выразился

[Aritaborian]

Последовательность обычно обозначают как $(x_n)_{n=1}^\infty$. Или вы не свовсем об этом спрашиваете?

[Qazed]

Частично об этом, если возможно что-то вроде

$$\text{НОД}(x_i)^{n}_{i=1} = 1$$

Но я так думаю, что это сказки.

[Aritaborian]

Почему бы и нет. При опасениях, что такая запись покажется непонятной, всегда можно пояснить (один раз, в начале текста).
Впрочем, для конечных наборов обычно используют нотацию с многоточием: $a=(a_1;a_2;...;a_n)$. Чем она вас не устраивает?

[Qazed]

Спасибо. Конечно при договорённости возможно все, но меня интересует общепринятость обозначения (хотя бы минимальная). А нотация с многоточием не устраивает многоточием.