Что движется по Кеплеру ц. тяжести или ц. масс?

[Ingus]

Известно, что движение центра масс спутника типа гантели не совсем кеплерово. Только в некотором приближении можно считать, что центр масс спутника движется по кеплеровой траектории, а его тело совершает около центра масс либрационные качания. Со всей очевидностью есть точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю - центр тяжести. Википедия врет, что он может лежать вне стержня,
Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.
Скажите, что это не так! Просто на стержне центр тяжести гораздо проще найти)

Итак, если существует точка, относительно которой суммарный момент сил гравитации равен нулю, не она ли летит по кеплеровой траектории, а все остальные точки тела, включая центр масс, либрируют около нее?

[Hyper_Tor]

На мой взгляд может, только если ручка гантели ориентирована не перпендикулярно источнику гравитационного поля. Причём ручка гантели должна быть очень тонкая, а сила гравитационного взаимодействия очень велика.

[Ingus]

Hyper_Tor в сообщении #941496 писал(а):

не перпендикулярно источнику

Источник - точка, ручка- отрезок. Что значит не перпендикулярно точке?

[Hyper_Tor]

Если источник точечный, то ось ручки не проходит через точку.

[Red_Herring]

А с какой стати хоть что-нибудь должно двигаться строго по Кеплеру? Законы К. верны исключительно для центрально-симметричных масс.

[Hyper_Tor]

О строгости речь не шла, ведь применяют же эти законыпри описании движения планет.

[Red_Herring]

Hyper_Tor в сообщении #941661 писал(а):

О строгости речь не шла, ведь применяют же эти законыпри описании движения планет.

Вопрос: какого размера эта гантель? Если сравнима с характеристиками орбиты, то ни о каких законах Кеплера речи быть не может.

Если она намного меньше характеристик орбиты, то все её центры практически в одном месте и вопрос теряет смысл. Хотя, конечно, задача об описании движения спутника в форме гантели размера $\varepsilon$ вокруг центрально-симметричной планеты с решением в форме асимптотического ряда по $\varepsilon$ вполне осмыслена.

[Oleg Zubelevich]

задача о гантели Белецкого разобрана в Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. Механика

[Hyper_Tor]

Если стержень, соединяющий гантель достаточно тонок, то очевидно, что центр тяжести будет лежать за пределами этого стержня, если же стержень - это линия, то в поле сил гравитации, хоть сколь угодно слабом это будет всегда, за исключением случая, когда ось гантели проходит через точечный источник гравитации. Удалённость центра тяжести от оси будет определятся также размерами и массой шаров гантели и ориентацией гантели относительно источника.

[Red_Herring]

Hyper_Tor в сообщении #941695 писал(а):

то очевидно, что центр тяжести будет лежать за пределами этого стержня,

Но при длине ручки много меньше параметров орбиты все равно очень близко к центру масс. А Oleg Zubelevich Вам дал ссылку, читайте и не гадайте

[Hyper_Tor]

Red_Herring в сообщении #941700 писал(а):

Hyper_Tor в сообщении #941695 писал(а):

то очевидно, что центр тяжести будет лежать за пределами этого стержня,

Но при длине ручки много меньше параметров орбиты все равно очень близко к центру масс. А Oleg Zubelevich Вам дал ссылку, читайте и не гадайте

От длины ручки расположение зависеть будет очень слабо. При длине ручки много меньше параметров орбиты эффект смещения будет на мой взгляд проявляться сильнее чем при длине ручки сопоставимой с параметрами орбиты или существенно большей.

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #941686 писал(а):

задача о гантели Белецкого разобрана в Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. Механика

Спасибо!

[Ingus]

Hyper_Tor в сообщении #941695 писал(а):

Если стержень, соединяющий гантель достаточно тонок, то очевидно, что центр тяжести будет лежать за пределами этого стержня

Мне это не очевидно... Есть способ формализовать эту очевидность?
Если радиусы-векторы точечных масс на концах стержня и сам стержень образуют равнобедренный треугольник, то где будет центр тяжести?

[Ingus]

Red_Herring в сообщении #941658 писал(а):

А с какой стати хоть что-нибудь должно двигаться строго по Кеплеру? Законы К. верны исключительно для центрально-симметричных масс.

А какая точка гантели движется по гладкой кривой, в то время как остальные совершают относительно нее вращательные движения?

[Hyper_Tor]

Ingus в сообщении #942683 писал(а):

Hyper_Tor в сообщении #941695 писал(а):

Если стержень, соединяющий гантель достаточно тонок, то очевидно, что центр тяжести будет лежать за пределами этого стержня

Мне это не очевидно... Есть способ формализовать эту очевидность?
Если радиусы-векторы точечных масс на концах стержня и сам стержень образуют равнобедренный треугольник, то где будет центр тяжести?

Сила гравитационного взаимодействия двух точечных масс равна: $F_g=g\frac{ m1m2}{r^2}$ Рассмотрим сначала систему, представляющую два шара, центры которых расположены на расстоянии $r$ друг от друга и массы внутри которых распределены равномерно. Центр масс каждого из шаров совпадает с центром шара. Разделим один из шаров на две равные части плоскостью так, что плоскость будет перпендикулярна оси, проходящей через центры шаров. Рассмотрим оценочно силу взаимодействия каждой из половин со вторым шаром. Очевидно, что половина, находящаяся ближе ко второму шару будет взаимодействовать сильнее, чем половина более удаленная от второго шара. Т.е. чтобы найти центр силы взаимодействия необходимо чтобы взаимодействия частей было одинаковым, т.е. от ближней части нужно отдать дальней некоторое количество массы, т.е. плоскость сечения сместить ближе к второму шару, точка, лежащая на пересечении оси, проходящей через центры шаров и плоскости сечения и будет центром сил тяжести. Чтобы посчитать это смещение количественно, необходимо считать интегралы по объёму гантелей, вычисляя силу. Но из вышеприведенных соображений следует, что для тела любой формы, находящегося в поле сил тяготения, центр масс всегда не совпадает с центром тяжести, который смещен в сторону источника гравитации.