Невырожденное преобразование

[Braga]

Допустим имеем некоторое невырожденное преобразование $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. Одно из условий, которое накладывают на невырожденность преобразования - ненулевой якобиан. В связи с этим два вопроса:
1) для чего это условие?
2) какое геометрическое/функциональное значение имеет якобиан в конкретной точке, а так же на определенном заданном множестве?

[VanD]

А Вы попробуйте это из теоремы о неявной функции понять.

[Braga]

Понятно, то есть, если это отображение вдобавок простое, то мы всегда сможем найти обратное(по крайней мере в окрестностях, покрывающих данное множество) с абсолютно теми же свойствами.

Второй вопрос остается актуальным

[provincialka]

Якобиан в точке: модуль задает отношение малых соответственных объемов. Знак соответствует ориентации (изменилась/сохранилась)

[Braga]

provincialka в сообщении #941427 писал(а):

Якобиан в точке: модуль задает отношение малых соответственных объемов. Знак соответствует ориентации (изменилась/сохранилась)

Спасибо. Но развивая тему: как это поняли? Что именно это обозначает якобиан

[provincialka]

Для малых размерностей - через векторное и смешанное произведение векторов (частных дифференциалов). Для бОльших размерностей - видимо, по аналогии.

[VanD]

Якобиан - определитель матрицы оператора, перегоняющего касательное пространство в точке прообраза в касательное пространство в точке образа. Если он не 0, то оператор этот - изоморфизм. Соответственно про изменение объема параллелепипеда на базисных векторах - из этого рассуждения вытекает, если вспомнить что такое матрица оператора на линейном пространстве. Ну еще надо пояснить почему определитель матрицы из компонент векторов и есть объем параллелепипеда на них. Как-то так наверно.

[Braga]

Касательное пространство - как касательное пространство открытого множества в $\mathbb{R}^n$ как гладкого многообразия?

[VanD]

Да, как гладкого многообразия. Касательные пространства в точке прообразе и в её образе.