Планиметрия. Сканави. 10.250.

[Charlz_Klug]

Условие:
На отрезке $AB$ взята точка$M$, а на отрезках $AM$ и $MB$ по одну сторону от прямой $AB$ построены квадраты, описанные окружности которых пересекаются в точке $N$. Доказать, что прямая $AN$ проходит через вершину второго квадрата и что треугольник $ANB$ прямоугольный.

Решение:

Соединим вершины квадратов $A$ и $C$, $B$ и $D$. Продолжим $BD$ до пересечения с $AC$. Обозначим точку пересечения $N$ и покажем, что она совпадает с точкой пересечения окружностей, описанных около квадратов. Действительно, так как $\triangle ACM = \triangle BDM$, то $\angle ACM = \angle BDM$ и потому $BN \perp AC$. Но прямые углы $BNC$ и $AND$ опираются на соответствующие диаметры, а значит, точка $N$ принадлежит обеим описанным окружностям, откуда и следует доказываемое утверждение. Что и требовалось доказать.

Непонятный момент: по моим выкладкам, поскольку $\triangle ACM = \triangle BDM$ то $\angle ACM = \angle MBD$, а не $\triangle ACM = \triangle BDM$?

[grizzly]

Вы правы. А в чём сомнения? Очевидно, что эти треугольники равны и что рассматривается угол между бОльшими (применительно к рисунку) сторонами. Ну да, бывают в книгах опечатки.

[Charlz_Klug]

Значит, текст получается такой:

Условие:
На отрезке $AB$ взята точка$M$, а на отрезках $AM$ и $MB$ по одну сторону от прямой $AB$ построены квадраты, описанные окружности которых пересекаются в точке $N$. Доказать, что прямая $AN$ проходит через вершину второго квадрата и что треугольник $ANB$ прямоугольный.

Решение:

Соединим вершины квадратов $A$ и $C$, $B$ и $D$. Продолжим $BD$ до пересечения с $AC$. Обозначим точку пересечения $N$ и покажем, что она совпадает с точкой пересечения окружностей, описанных около квадратов. Действительно, так как $\triangle ACM = \triangle BDM$, то $\angle ACM = \angle MBD$ и потому $BN \perp AC$. Но прямые углы $BNC$ и $AND$ опираются на соответствующие диаметры, а значит, точка $N$ принадлежит обеим описанным окружностям, откуда и следует доказываемое утверждение. Что и требовалось доказать.

До сих пор в этой книжке на опечатку не натыкался. Теперь всё понял. Большое спасибо.