О числах, состоящих из одних единиц.

[Interesno]

Мне на муниципальной олимпиаде попалась такая задача:
На $n$ карточках записаны цифры. Если перекладывать эти карточки в каком-то порядке, можно получить $n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1 = n!$ чисел (состоящих из этих цифр). Может ли их произведение быть числом, состоящим из одних единиц?
Максимум, которого я добился - среди цифр нет 2, 4, 5, 6, 8, 0.
Что делать дальше?

[gris]

Может, если $n=1$
Попробуйте решить вопрос для двух карточек.

[Interesno]

Для двух карточек составить такое число нельзя. Но дальше идей - ноль.
N = 1? Странно, что не задумывался над этим.

[Lia]

Interesno

Interesno в сообщении #941076 писал(а):

N = 1?

Устное (пока) замечание за неоформление формул.

[provincialka]

Можно последить за последними двумя цифрами как исходных чисел, так и произведения. Все цифры числа нечетные (и не равны 5). Надо проследить за четностью предпоследней цифры.

[Interesno]

Спасибо всем!

[Shadow]

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

Если перекладывать эти карточки в каком-то порядке, можно получить $n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1 = n!$ чисел

Как думаете, зачем это написали? Могли же написать просто:

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

На $n$ карточках записаны цифры. Может ли их произведение быть числом, состоящим из одних единиц?

Или это все таки другая задача. (более интересная)

-- 06.12.2014, 11:01 --

Но совсем чуть чуть. существуют ли натуральные $a,b,n:\quad 3^a\cdot 7^b=10^n-1$

$10^n \equiv 1 \pmod 7\;\Rightarrow n=6k\;\Rightarrow 10^n \equiv 1 \pmod{11},\;10^n \equiv 1 \pmod{13}$

[Interesno]

Shadow в сообщении #941107 писал(а):

$10^n \equiv 1 \pmod 7\;\Rightarrow n=6k\;\Rightarrow 10^n \equiv 1 \pmod{11},\;10^n \equiv 1 \pmod{13}$

Я в сравнениях по модулю не смыслю ничего совершенно, вы уж извините. Например, как из того, что $n=6k$ следует, что $10^n\equiv 1\pmod {11} $?

[Shadow]

Вообще-то наверное можете доказать, что если $n$ четное, то $10^n-1$ делится на 11. (хотя бы по признаку делимости на 11). Но я намекнул что ваша задача проще - там написано, что все цифры различны, да еще из множества $\{1,3,7,9\}$ И все варианты можно проверить в уме.

В более общем случае я не рассмотрел случай $3^x=10^y-1$. Достаточно рассмотреть $3^x$ по модулю 5 и 4.

[grizzly]

Shadow в сообщении #941134 писал(а):

там написано, что все цифры различны

Где написано? Вряд ли на олимпиаде дали бы задачу на перемножить пару десятков чисел.

[Shadow]

grizzly в сообщении #941138 писал(а):

Где написано?

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

Если перекладывать эти карточки в каком-то порядке, можно получить $n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1 = n!$ чисел

$n!$ различных чисел перестановкой цифр можно получить только если нет одинаковых цифр,. А если можно получать и одинаковые числа перестановкой цифр, то зачем это вообще написано? ТС написал, что не понимает сравнения, наверное его коллеги тоже. А без сравнений нельзя решить задачу $3^x\cdot7^y=10^z-1$

grizzly в сообщении #941138 писал(а):

Вряд ли на олимпиаде дали бы задачу на перемножить пару десятков чисел.

Какие пару десятков? Проверить только $3\cdot 7\cdot 9,\;3\cdot 7,\; 3\cdot 9,\; 7\cdot 9$

-- 06.12.2014, 13:20 --

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

Может ли их произведение

Ой, я наверное не так понял задачу - произведение чего - цифр или всех чисел.

[grizzly]

Shadow в сообщении #941144 писал(а):

Ой, я наверное не так понял задачу

Спасибо, сэкономили мне 10 минут беспощадного избиения клавиатуры :)
Числа, конечно, перемножаем.

[provincialka]

Переставляем мы карточки, а они различны. Различны ли написанные на них цифры - неизвестно и неважно. Задача сформулирована вполне грамотно. Хорошая задачка, всего в меру.

[Interesno]

Shadow в сообщении #941144 писал(а):

ТС написал, что не понимает сравнения, наверное его коллеги тоже.

Я пока в школе учусь.

Shadow в сообщении #941107 писал(а):

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

Если перекладывать эти карточки в каком-то порядке, можно получить $n(n-1)(n-2)...\cdot2\cdot1 = n!$ чисел

Как думаете, зачем это написали? Могли же написать просто:

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

На $n$ карточках записаны цифры. Может ли их произведение быть числом, состоящим из одних единиц?

Извиняюсь, что с опозданием, но перемножать действительно надо числа. Просто показалось, что вы предложили мне другую задачу с перемножением цифр.

provincialka в сообщении #941227 писал(а):

Interesno, а задачу-то вы решили? Не расскажете, как?

Предпоследняя цифра всегда чётная, не равна единице. Это следует из того, что при перемножении двух любых цифр из 1,3,7,9 предпоследняя цифра четная.

[provincialka]

Interesno, а задачу-то вы решили? Не расскажете, как?