Дифференцируемость функции нескольких переменных

[Anton_Peplov]

$\frac{\frac{}{}}{}$Пытаюсь разобраться, в каком случае функция нескольких переменных называется дифференцируемой.

В классической книжке Ильина и Позняка "Основы математического анализа" приведено такое определение, цитирую:

Функция $u = f(x_1, x_2, ... x_n)$ называется дифференцируемой в т. $M(x_1, x_2, ... x_n)$, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде

$$ \Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + \alpha_1 \Delta x_1 + \alpha_2 \Delta x_2 + ... + \alpha_n \Delta x_n $$

где $A_1, A_2, ... A_n$ - некоторые не зависящие от $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ числа, а $\alpha_1, \alpha_2 , ... \alpha_n$ - бесконечно малые при $\Delta x_1 \to 0, \Delta x_2 \to 0, ... \Delta x_n \to 0$ функции, равные нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$.

Мне кажется, что это неаккуратное определение в том смысле, что:

1) неясно, требуется ли независимость $A_k$ только от $\Delta x_k$, или от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$
2) неясно, является ли $\alpha_k$ функцией одного приращения $\Delta x_k$, или функцией всех приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$
3) неясно, стремится ли $\alpha_k$ к нулю уже при условии $\Delta x_k \to 0$ независимо от поведения остальных приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_{k-1}, ... \Delta x_{k+1}, ..., \Delta x_n$, или требуется чтобы все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремились к нулю одновременно.

Я пытался уточнить определение по другим учебникам, но все они воспроизводят И. и П. дословно.
Тогда я попробовал разобраться, исходя из доказываемых далее теорем. Судя по тому, что $A_k$ есть частная производная по $x_k$, требуется, чтобы $A_k$ было независимо от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, а не только от "родного" приращения $\Delta x_k$.
Кроме того, И. и П. утверждают, что условие дифференцируемости можно представить в виде

$$ \Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + o(\rho) $$

где $\rho$ - расстояние между точками $M(x_1, x_2, ... x_n)$ и $N(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, ... x_n + \Delta x_n)$. При этом функция $\alpha_k$ представляется как $\frac{o(\rho)}{\rho^2} \Delta x_k$.
$\frac{o(\rho)}{\rho^2} \Delta x_k$ зависит не только от $\Delta x_k$, но и от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ (через $\rho$) и стремится у нулю, только если все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремятся к нулю одновременно.

Итак, я понял определение следующим образом:
Функция $u = f(x_1, x_2, ... x_n)$ называется дифференцируемой в т. $M(x_1, x_2, ... x_n)$, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде

$$ \Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + \alpha_1 \Delta x_1 + \alpha_2 \Delta x_2 + ... + \alpha_n \Delta x_n $$

где каждое $A_k$ не зависит ни от одного из приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, а каждое $\alpha_k$ является, в общем случае, функцией всех приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, которая стремится к нулю, если все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремятся к нулю одновременно, и равна нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$.

Я правильно понял?

И еще, я не понимаю, зачем нужно условие "равна нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$". $\Delta u$ при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$ будет равно нулю просто потому, что каждое слагаемое имеет приращение какого-то аргумента в качестве множителя, зачем настаивать на обнулениии $\alpha_1, \alpha_2 , ... \alpha_n$?

Спасибо.

[provincialka]

Ваши уточнения правильные, но, как мне кажется, излишние. С трудом представляю себе, что могла бы понять это определение по-другому.
Насчет обнуления. Вообще говоря, не предполагается, что $a_k$ непрерывны. Наложенное требование слабее непрерывности по совокупности аргументов.

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #940742 писал(а):

С трудом представляю себе, что могла бы понять это определение по-другому.

А мне вот удалось:)

provincialka в сообщении #940742 писал(а):

Насчет обнуления. Вообще говоря, не предполагается, что $a_k$ непрерывны. Наложенное требование слабее непрерывности по совокупности аргументов.

Да, я знаю, что не предполагается. И что? Где вообще используется тот факт, что $\alpha_k$ обнуляются при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = ... \Delta x_n = 0$, при доказательстве какой теоремы? Я не нашел.
Для дифференцируемости функции одной переменной, кстати, условие "$\alpha = 0$ при $\Delta x = 0$" не предполагается.

[Brukvalub]

Некоторые авторы прямо в определении дифференцируемости оговаривают непрерывность соответствующей бесконечно малой, можно также позже доопределить ее в 0 по непрерывности. Это бывает нужно в аккуратных доказательствах дифференцируемости сложной функции и т.п.