Управляемость системы.

[Katmandu]

Дана система:

$$ \begin{cases} \dot{x_1} = 2x_1 - 2x_2 - 2u,\\ \dot{x_2} = x_1 - x_2 - u,\\ \dot{x_3} = x_1 - 2x_2 + 2x_3 - u \end{cases} $$

Пусть $U_r$ это шар в $R^3$ радиуса $r$ с центром в начале координат.
Для каждого времени $T$ найти максимальное $R$, при котором пара $(U_R,U_1) управляема за время T$.

Примечание: Пара множеств $(M_1,M_2)$ управляема за время $T$, если для любого $x^{(0)}\in M_0$ найдется такое $x^{(1)}\in M_1$, что пара точек $(x^{(0)},x^{(1)})$ управляема за время T


Решение:

Запишем систему в виде:
$\dot{X} = AX + Bu$, где

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Воспользуемся критерием Калмана.
Матрица Калмана выглядит следующим образом:

$$ C = (B , AB , A^2B)= \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0\\ -1 & -2 & -2\\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} $$

Так как $\operatorname{rank}(C) = 2 $
то система не является полностью управляемой

Подскажите, какой шаг следующий?
Нужно выполнить первое разбиение?

[cool.phenon]

Немного не хватает для полного понимания: допустимые управления стандартны? $|u(t)|\le 1 $ в классе $ L^{\infty}(0,T)$?