Дифференцирование несобств. интеграла, завис. от параметра

[Kink]

Нужно вычислить несобственный интеграл, зависящий от параметра ($y\geqslant0$):

$$I(y)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^-^y^x}{x}cosxdx$$

Дифференцируя по параметру, получаем легко берущийся интеграл:

$$I'(y)=\int\limits_{0}^{+\infty}e^-^x^ycosxdx$$

И получаем выражение:

$$I'(y)=\frac{y}{1+y^2}$$

Интегрируя по параметру, получим:

$$I(y)=\frac{1}{2}\ln(1+y^2)+C$$

Подставляя в изначальное и получившееся выражение конкретное значение $y=0$, находим $C=0$:

$$I(y)=\frac{1}{2}\ln(1+y^2)$$

Но, как я понимаю, при этом нужно доказать, что мы можем дифференцировать по параметру, а это:
1) Непрерывность исходной функции и её частной производной при $0\leqslant x \leqslant+\infty$ и $0\leqslant y \leqslant+\infty$.
2) $I(y)$ сходится.
3) $I'(y)$ сходится равномерно на $(0,+\infty)$.

Верно ли, что мне нужно доказать эти три пункта, а не меньше?
Как доказывать второй пункт, ведь о его сходимости мы узнаем только вычислив его (?).
В третьем пункте, кажется, можно использовать критерий Вейерштрасса, как подобрать нужную функцию $F(x)$?

[SpBTimes]

Сходимость можно и нужно доказывать даже без вычисления. Сходимости достаточно в какой-то точке вашей области.
Равномерной сходимости интеграла от производной на вашем промежутке нет