Условная плотность распределения

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, для условной плотности распределения необходимо указывать промежутки только для одной переменной, или для двух? Смотрю в книгах, где -- одна, где -- обе.

Например, дано:

Непрерывная двумерная случайная величина $(x, y)$ равномерно распределена внутри треугольника с вершинами $A(5,-1)$, $B(5,-2)$, $C(-3,-2)$.

Нахожу:

$$f(x,y) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}, (x,y) \in D\\ 0, (x,y) \not\in D \end{matrix}\right.$$

Плотности составляющих:

$$f_{X}(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x+3}{32}, x \in [-3;5]\\ 0, x \not\in [-3;5] \end{matrix}\right.$$

$$f_{Y}(y) = \left\{\begin{matrix} -2y-2, y \in [-2;-1]\\ 0, y \not\in [-2;-1] \end{matrix}\right.$$

Условные плотности составляющих:

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x+3}, x \in [-3;5]\\ 0, x \not\in [-3;5] \end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix} -\frac{1}{8y+8}, y \in [-2;-1]\\ 0, y \not\in [-2;-1] \end{matrix}\right.$$

или их нужно записать вот так:

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x+3}, (x,y) \in D\\ 0, (x,y) \not\in D \end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix} -\frac{1}{8y+8}, (x,y) \in D\\ 0, (x,y) \not\in D \end{matrix}\right.$$

?

Спасибо!

[Otta]

$f(y|x)$ - условное распределение $Y$ при условии $X=x$. То есть $x$ фиксируется, и в выражении условной плотности $f(y|x)$ $y$ -- переменная. Пределы которой изменяются, вообще говоря, при каждом $x$ по своему. Как? рисуем картинку и смотрим. Вторая плотность аналогично.

Проверка $\int_{-\infty}^{+\infty} f(y|x)\, dy = 1$. Ну и для второй плотности - то же.

[Limit79]

Otta
Но у меня же $f(y|x)$ не зависит от $y$ и $f(x|y)$ не зависит от $x$.

(картинка)

Кстати, у меня этот вопрос как раз и возник при проверке - в каких пределах интегрировать.

[Otta]

Limit79 в сообщении #937664 писал(а):

Но у меня же $f(y|x)$ не зависит от $y$

Да, они кусочно постоянны. И что? А на каких промежутках, кто будет указывать?

[Limit79]

Опытным путем выяснено, что

$$\int\limits_{-2}^{\frac{x-13}{8}} \frac{8}{x+3} dy = 1$$

и

$$\int\limits_{8y+13}^{5} -\frac{1}{8y+8} dx = 1$$

[Otta]

Limit79 в сообщении #937666 писал(а):

Опытным путем

Прелессно.
Ну, раз так, пишите Ваши функции.

[Limit79]

Тогда, смею предположить, что

$$f(y|x) = \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x+3}, -2 \leqslant y \leqslant \frac{x-13}{8}, \quad -3 \leqslant x \leqslant 5 \\ 0, \quad \text{иначе} \end{matrix}\right.$$

$$f(x|y) = \left\{\begin{matrix} -\frac{1}{8y+8}, 8y+13 \leqslant x \leqslant 5, \quad -2 \leqslant y \leqslant -1\\ 0, \quad \text{иначе} \end{matrix}\right.$$

[Otta]

Не надо так. Еще раз, $x$ фиксировано в первом случае. При такой записи, что у Вас, Вы задаете функцию на всем треугольнике. А надо - на прямой или на отрезке прямой.

Надо: при $-3 \leqslant x \leqslant 5 \quad f(y|x) = \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x+3}, \quad -2 \leqslant y \leqslant \frac{x-13}{8} \\ 0, \quad \text{иначе} \end{matrix}\right.$

[Limit79]

Otta
А, так как икс фиксировано, то мы сначала его выбираем, а потом уже исходя из этого находим отрезок для $y$.

Понял, спасибо Вам большое!

-- 29.11.2014, 03:33 --

А, можно еще один вопрос?

При $x=-3\quad f(y|x)$ не определена - это нормально?

[Otta]

Нормально. Вы его не включайте, от греха. )

[Limit79]

Otta
Благодарю!

[Otta]

Да не за что. Опытным путем не надо, конечно, пределы ставить, Вы же как-то плотности каждой компоненты ищете и там те самые нужные пределы в интегралах и расставляете.

[Limit79]

Дабы не создавать новую тему, спрошу здесь:

В учебнике Гмурмана по теории вероятностей в номере $405$ (он там с решением), в ответе указана следующая функция распределения:

$$G(z)\left\{\begin{matrix} 0, z \leqslant 0\\ \frac{z^2}{8}, 0<z<2\\ 1-\frac{(4-z)^2}{8}, 2<z<4\\ 1, z>4 \end{matrix}\right.$$

Это нормально?

Ведь функция распределения вероятностей непрерывна слева.

(и такое в этом учебнике встречается много раз)

Задачка аналогична этой, но найти надо и функцию распределения и плотность.

[ewert]

Limit79 в сообщении #937671 писал(а):

При $x=-3\quad f(y|x)$ не определена - это нормально?

Она, между прочим, и левее минус тройки не определена.

Limit79 в сообщении #937684 писал(а):

$$G(z)\left\{\begin{matrix} 0, z \leqslant 0\\ \frac{z^2}{8}, 0<z<2\\ 1-\frac{(4-z)^2}{8}, 2<z<4\\ 1, z>4 \end{matrix}\right.$$

Это нормально?

Ведь функция распределения вероятностей непрерывна слева.

Если Вас смущает нехватка чёрточек, то надо не смущаться, а наоборот: именно в силу непрерывности они и не нужны.

[Limit79]

ewert
Да, нехватка черточек.

Функция непрерывная слева в т. $x=a$, когда

$$\lim\limits_{x \to a-0} f(x) = f(a)$$

Здесь же, например, при $z=2$ функция не определена, то есть вышенаписанное равенство не может выполнятся в принципе, то есть и непрерывности нет.

Подскажите, пожалуйста, где я ошибся.