Найти форму тела

[fronnya]

Эту задачу придумали мои одногруппники, они призеры IPhO 2014. Ну может не придумали, а взяли где- то. Итак:
"Представить себя богом. Имеется большой кусок пластилина объемом $V$ постоянной плотности. Найти форму, которую нужно придать пластилину, чтобы в некоторой точке получить максимально возможную напряженность гравитационного поля, и значение этой напряженности".

-- 28.11.2014, 18:26 --

Лично я вообще не знаю, как её решать

[12d3]

Несколько одногруппников межнаров. Физтех чтоль?
По поводу задачки, выберем точку и некоторое направление вектора напряженности. Думаю, можно сначала найти геометрическое место точек, такое, что если поместить в любую из этих точек единичную массу, проекция вектора напряженности поля от этой массы в выбранной нами вначале точке на выбранное нами направление постоянно. А потом немного подумать о связи формы тела и этого геометрического места точек.

[fronnya]

12d3 в сообщении #937521 писал(а):

Физтех чтоль?.

БГУ физфак

[Munin]

fronnya в сообщении #937507 писал(а):

Лично я вообще не знаю, как её решать :-)

Вариационными методами :-)

[Parkhomuk]

Это не оригинальная задача, очень похожую задачу я видел когда-то на одном из форумов, там только Бог не упоминался и было доп. условие на эту некоторую точку, что она принадлежит поверхности этого "формоискомого" тела. Подробностей не помню и было ли там решение?, но по ассоциации в голове крутится мысль, что вроде надо доказывать что форма есть выпуклое тело вращения с осью симметрии проходящей через эту точку, а потом... нет больше мыслей...

[dovlato]

Полностью вариации разворачивать не хочется.
Вот такой подход, слегка на грани фола. Прежде всего ясно, что это тело вращения.
Пусть его огибающая в полярных координатах имеет уравнение

$$r=r(\theta)$$

Здесь угол откладывается от оси вращения. Точечная пробная масса находится в верхней точке.
Далее идёт такое соображение. Коли тело имеет оптимальную форму, то, видимо, маленький кусочек,
отщипнутый из любой точки его поверхности и произвольно перемещаемый по ней, будет обеспечивать неизменную
вертикальную проекцию силы притяжения этого кусочка к пробной массе; то есть выполняется равенство

$$\frac{\cos(\theta)}{r^2(\theta)}=\operatorname{const}$$

Ну и отсюда получаем

$$r(\theta)=C\sqrt{\cos(\theta)}$$

[fronnya]

Munin в сообщении #937643 писал(а):

fronnya в сообщении #937507 писал(а):

Лично я вообще не знаю, как её решать

Вариационными методами

Ой, все)
Одногруппники мои, хоть и первый курс, но уже решают олимпиады по теор. механике, толковые ребята.

[Утундрий]

"Квант" (№10, 1987).

[dovlato]

Спасибо, Утундрий. Теперь я уверен, что не ошибся). Но, в отличие от авторов статьи,
мне показалось, что эта тыква как раз мало отличается от шара. Да и сила притяжения, после всех интегрирований,
менее чем на 3% превосходит ту, что у шара.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #940412 писал(а):

в отличие от авторов статьи,
мне показалось, что эта тыква как раз мало отличается от шара.

Ну, для Земли сие $0,855$ означает провал $\sim 920$ км.

P.S. Кстати, интересно было бы посмотреть - как будет заливать это тело вода?

[dovlato]

Скорее всего, эквипотенциальные поверхности удобнее в тех же полярных координатах выражать.

[propagator]

Maximal gravity