Абстрактная мера Лебега

[Dan B-Yallay]

Подскажите, куда смотреть (в смысле литературу) по поводу того, как задается мера Лебега в пространствах $L_p$ (или хотя бы $l_p$).

[finanzmaster]

вот, вот и ВОТ.

Вообще-то обычно сначала изучается теория меры, а потом вводятся пространства $L_p$

[Dan B-Yallay]

Спасибо за ссылки, но к вопросу они отношения не имеют.
Конечно, сначала изучается мера на $\mathbb {R}$ в виде длины интервалов (или площади прямоугольников в $\mathbb {R}^n$ как у Колмогорова) сигма-алгебры, Борелевские множества и прочее. Затем идет мера на произвольном абстрактном множестве $X$. Определяется интеграл Лебега и уже после - пространства $L_p$.
Но если можно задать меру на произвольном множестве, почему бы и не на тех же $L_p$ или даже пространстве последовательностей $l_p$?
Тривиальная "счетная" мера типа "мера каждого элемента равна 1" не интересует. Вроде кто-то пытался задать непрерывную меру.Вот эту информацию я как раз пытаюсь найти.

[PAV]

Сформулируйте, пожалуйста, определение пространства $L_p$ (не используя, разумеется, меру Лебега, а также интеграл Лебега, который естественным образом основан на мере).

[finanzmaster]

Dan B-Yallay писал(а):

Спасибо за ссылки, но к вопросу они отношения не имеют.
Конечно, сначала изучается мера на $\mathbb {R}$ в виде длины интервалов (или площади прямоугольников в $\mathbb {R}^n$ как у Колмогорова) сигма-алгебры, Борелевские множества и прочее. Затем идет мера на произвольном абстрактном множестве $X$. Определяется интеграл Лебега и уже после - пространства $L_p$.
Но если можно задать меру на произвольном множестве, почему бы и не на тех же $L_p$ или даже пространстве последовательностей $l_p$?

Так Вам все равно какую меру, лишь бы не "примитивную" counting measure? Или именно Лебега, т.е. чтоб еще translation-invariant?
Насчет первой - посмотрите Leodux - Probability in Banach Spaces.djvu
У меня у самого прочитать эту мегакнижку руки еще не дошли, но раз уж они говорят о вероятностях на Банаховых пр-вах, то наверное говорят и о мерах на них
А вот с мерой Лебега возникнут большие трудности. Дело в том, что она - единственная из всех мер, которая translation-invariant. Для задания меры Лебега в R^n$ (конечномерном евклидовом пространстве) ее достаточно определить на всех параллелепипедах, а потом по Каратеодори...
В бесконечномерных пространствах начинаются проблемы. В детали я не вникал, но вроде L^2$ еще что-то можно выдумать, потому что оно гильбертово, а вот в произвольном L^p$...

[PAV]

PAV писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, определение пространства $L_p$ (не используя, разумеется, меру Лебега, а также интеграл Лебега, который естественным образом основан на мере).

Я понял, что Вы хотите, так что мой вопрос снимается.

[AD]

finanzmaster писал(а):

Насчет первой - посмотрите Leodux - Probability in Banach Spaces.djvu

Не качается. Вижу только надпись "You have reached the download-limit for free-users."

На пространстве непрерывных функций $C[a,b]$ вроде понятно, как меру задавать. На $\ell_2$ - тоже понятно. Там задают меру на полукольце "цилиндрических множеств", а потом продолжают по стандартной схеме. Каждое цилиндрическое множество определяется конечным набором точек $x_1, \ldots, x_m$ из $[a,b]$ (или из $\mathbb{N}$ в случае $\ell_2$) и промежутков $\{a_1,b_1\},\ldots,\{a_m,b_m\}$, в которые должны попадать $f(x_1),\ldots,f(x_m)$ соответственно, чтобы $f$ принадлежала определяемому множеству.

Только при этом построении желательно, чтобы мера была вероятностной, иначе будет плохо перемножаться. То есть меру цилиндрических множеств можно брать так: берем функцию распределения $\Phi$ на $\mathbb{R}$ и объявляем

$$\mu\Bigl\{a_1\leqslant f(x_1)\leqslant b_1 \ \wedge\ \ldots\ \wedge\ a_m \leqslant f(x_m)\leqslant b_m\Bigr\}=\prod_{k=1}^m \bigl(\Phi(b_k)-\Phi(a_k)\bigr)$$

, и то же самое для незамкнутых интервалов.

Это я краем уха слышал, могу ошибаться. Попробуйте поискать по слову "мера Винера", это вроде бы такая мера на $C[a,b]$, по которой разводят всякую теорию, что "типичная непрерывная функция не имеет производной ни в одной точке". Говорят, в физике применяется где-то.

А про меру на произвольном $L_p(X)$ я че-то нигде не слышал. Ну при желании можно что-нибудь придумать, главное - сочинить полукольцо, а дальше все поедет куда надо. Только при большом пространстве $X$ мера будет, надо полагать, сильно бесконечной. А может и нет ...

Не используйте, пожалуйста, красный цвет — он зарезервирован для модерации. // нг

[Brukvalub]

Меру-то задать можно, только это не будет мера Хаара (трансляционно-инвариантная мера), Например, можно задать Гауссову меру (см. Богачев В.И. — Гауссовские меры ). Можно также вложить пространство $L_p$ в счетное произведение прямых, на котором задано тензорное произведение покоординатных мер, и применить стандартную конструкцию, после которой мера сосредоточится на вложенном множестве. Но все это весьма непросто и довольно академично, поэтому, как мне кажется, не очень годно к использованию в приложениях. Некоторые из конструкций мер приведены во втором томе книги: Богачев В.И "Основы теории меры".

AD писал(а):

Не качается. Вижу только надпись "You have reached the download-limit for free-users."

Значит, Вы недавно пользовались Рапидшарой в бесплатном режиме, и эта вреднючка еще помнит Ваш IP. Ждите, и, если Ваш IP - динамический, то ждать осталось недолго. У меня все скачалось.

[Dan B-Yallay]

Я неправильно выразился насчет задания именно Лебеговой меры на пространстве, но меня поняли.
Хотел сначала узнать что это такое в принципе - мера на $L^p$, а потом уже вникать в инвариантные меры, Хаара и прочее.
Probability in Banach Spaces.djvu - уже качается, а вот Богачева как достать пока не знаю. Разберусь позже. Если появятся вопросы, вытащу эту тему снова.

Благодарю всех за информацию.

[AD]

Brukvalub писал(а):

Значит, Вы недавно пользовались Рапидшарой в бесплатном режиме, и эта вреднючка еще помнит Ваш IP.

Да, спасибо, у меня тоже скачалось. IP у меня более-менее постоянный, но я за большим маскарадом.

Dan B-Yallay писал(а):

Probability in Banach Spaces.djvu - уже качается, а вот Богачева как достать пока не знаю.

Пробуйте, Богачев - мегакнижка. В Москве достать вроде бы не очень сложно.

[finanzmaster]

вот ещё одна мегакнижка

и еще (da Prato - An Introduction to Infinite-Dimensional Analysis)

Изучайте на здоровье!