Переходный процесс, емкость.

[MAKSUS_87]

Здравствуйте.
Мне нужно решить такую задачку:


Нужно найти ${U}_{c}$.

Мои мысли по поводу решения.
Для начала обозначим все элементы цепи.
Слева направо: ${R}_{1}={R}_{2}={R}_{3}=1; { R}_{4}=2; C=1; i(t){$ тоже известно.

До коммутации:
Я так понимаю ${i}_{c}(0-)=J\frac{{R}_{34}\cdot{R}_{2}}{{R}_{34}\cdot{R}_{2}+{R}_{34}({R}_{1}-j\frac{1}{\omega C})+{R}_{2}(-j\frac{1}{\omega C})}$
Тогда ${U}_{c}(0-)={i}_{c}(0-)\cdot{Z}_{c}$

После коммутации:
${i}_{c}(0+)=J\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$, тогда ${U}_{c}={i}_{c}(0+)\cdot {Z}_{c}$

Если все так, то как потом найти $p$ ?

Заранее спасибо за помощь.

[Freude]

Тут без диф. ура не обойтись. Я бы записал выражение для тока в цепи емкости, выражение связывающее ток и падение напряжения на емкости. Начальные условия вы определили...

[MAKSUS_87]

Freude

То есть составить систему, используя это - ${i}_{c}=C\frac{d{U}_{c}}{dt}$ ?

Но у нас же известно, что в этом случае будет решение следующее:
${U}_{c}(0-)={U}_{c}(0+)+{U}_{c_{svyaznoe}}(t)$, где $U}_{c_{svyaznoe}}(t)=A{e}^{pt}$

[Freude]

Сумма токов в узле равна нулю. Это уравнение для тока в одной ветке.

[MAKSUS_87]

Freude

Хорошо. Запишу я уравнение по правилу Кирхгофа, а дальше как быть ?

[Freude]

В цепи всего два узла. Разность потенциалов между ними обозначим $U$. Запишем сумму токов для одного из узлов после коммутации:

$i+\frac{U}{R_2}+C\frac{dU_c}{dt}=0$

В свою очередь можно записать выражение для $U$ как:

$U=U_c+R_1 C\frac{dU_c}{dt}$.

Подставляя одно в другое, в результате получим диф. уравнение:

$\left(\frac{R_1}{R_2} +1\right)C\frac{dU_c}{dt}+\frac{U_c}{R_2}+i=0$

Чтобы его решить нужны начальные условия, которые являются решением для цепи в состоянии до коммутации. Можно это уравнение переписать используя комплексные амплитуды.

[MAKSUS_87]

Freude

Огромное спасибо.
В вашем последнем уравнении под $i$ подразумевается ${i}_{c}(0-)$ ?

[Freude]

MAKSUS_87 в сообщении #936581 писал(а):

Freude

Огромное спасибо.
В вашем последнем уравнении под $i$ подразумевается ${i}_{c}(0-)$ ?

Нет, это ток в цепи источника тока $i(t)$. Этот ток, поскольку не оговорено другое, является произвольной функцией времени и все время меняется... вообще используемое на рисунке обозначение источника тока подразумавает, что ток источника является постоянным, но почему тогда там показано, что ток является функцией времени $i(t)$. Это генератор переменного тока?

В любом случае, чтобы найти из дифференциального уравнения первого порядка значение $U_c(t)$ - нужно знать начальные условия $U_c(t=0-)=?$ в момент коммутации. Если предположить, что в схеме источник постоянного тока, найти эти начальные условия довольно легко: $U_c(t=0-)=\frac{-iR_1R_4}{2R_4+R_1}?$

[MAKSUS_87]

Freude

Дано:
$i(t)=\sqrt{2}\sin(\omega t-45)$
Отсюда $J=1-j$ вот это $J$ и есть ваше $i$ ?

Только я не понял как Вы нашили так ${U}_{c}(0-)$.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Freude]

MAKSUS_87 в сообщении #936612 писал(а):

Freude

Дано:
$i(t)=\sqrt{2}\sin(\omega t-45)$
Отсюда $J=1-j$ вот это $J$ и есть ваше $i$ ?

Только я не понял как Вы нашили так ${U}_{c}(0-)$.

Я уже написал что такое $i$. Что касается ${U}_{c}(0-)$, то это уже не имеет значения, поскольку ток источника не есть постоянный. А в какой момент времени производится коммутация?

[MAKSUS_87]

Freude в сообщении #936621 писал(а):

Я уже написал что такое $i$. Что касается ${U}_{c}(0-)$, то это уже не имеет значения, поскольку ток источника не есть постоянный. А в какой момент времени производится коммутация?

В момент времени $t=0$.

[Freude]

Ну вначале вы почти правильно все решали с использованием символического метода.

$U_c(0-)=-\operatorname{Re}\left[ J \frac{R_{234}(R_1-\frac{1}{j \omega C})}{R_{234}+R_1-\frac{1}{j \omega C}}\frac{1}{j\omega C}\frac{1}{R_1-\frac{1}{j\omega C}} \right] $

$J=\sqrt{2}e^{j\frac{\pi}{4}}$

Если бы время было не ноль, там бы еще експонента появилась в выражении. Осталось решить дифур и подставить эти начальные условия.

[MAKSUS_87]

Freude

Не понимаю как Вы нашли ${U}_{c}$.

[Freude]

Ну давайте разбираться - возможно я где-то ошибся. Емкостное сопротивление равно $Z_c=-\frac{1}{j\omega C}$. В цепи всего два узла. Найдем разность потенциалов этих узлов $U$:

$U=J \frac{R_{234}(R_1+Z_c)}{R_{234}+R_1+Z_c}=J \frac{R_{234}(R_1-\frac{1}{j \omega C})}{R_{234}+R_1-\frac{1}{j \omega C}}$

Правильно?

Теперь можно найти падение напряжения на емкости $U_c$, рассматривая ветку цепи, содержащую емкость, как делитель напряжения:

$U_c=U\frac{Z_c}{R_1+Z_c}$

Подставляем выражения для $U$ и $Z_c$:

$U_c=J \frac{R_{234}(R_1-\frac{1}{j \omega C})}{R_{234}+R_1-\frac{1}{j \omega C}} \frac{-\frac{1}{j\omega C}}{R_1-\frac{1}{j\omega C}}$

На самом деле мы получили комплексную амплитуду $U_c$, в выражении выше $J$ - это тоже комплексная амплитуда для источника тока. Они получены в рамках метода комплексных амплитуд (символьный метод - это другое не очень удачное название). Чтобы получить реальные значения необходимо провести обратное преобразование. Например:

$s(t)=S_m \cos(\omega t+\varphi) \rightarrow S_m e^{j\varphi}=\dot{S}_m$
$\dot{S}_m \rightarrow \operatorname{Re}(\dot{S}_m e^{j \omega t})=s(t)$

Поэтому

$i(t)=\sqrt{2}\sin(\omega t-\frac{\pi}{4})= -\sqrt{2}\cos(\omega t+\frac{\pi}{4}) \rightarrow -\sqrt{2} e^{\frac{j\pi}{4}}=J$

С учетом этого получим ответ

$U_c=\operatorname{Re} \left[\sqrt{2} e^{j \omega t} e^{j \frac{\pi}{4}} \frac{R_{234}(R_1-\frac{1}{j \omega C})}{R_{234}+R_1-\frac{1}{j \omega C}} \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R_1-\frac{1}{j\omega C}} \right]$

Но поскольку $t=0$:

$U_c=\operatorname{Re} \left[\sqrt{2} e^{j \frac{\pi}{4}} \frac{R_{234}(R_1-\frac{1}{j \omega C})}{R_{234}+R_1-\frac{1}{j \omega C}} \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R_1-\frac{1}{j\omega C}} \right]=\operatorname{Re} \left[\sqrt{2} e^{j \frac{\pi}{4}} \frac{R_{234}}{j\omega C(R_{234}+R_1)-1} \right]$