Вопрос по теории множеств

[Fredholm]

Здравствуйте. Пытаюсь разобраться с теоремой о том, что объединение двух счетных множеств также счетно. Нашел следующее доказательство, его начало:

«Докажем последнее утверждение сначала для двух счётных множеств: $A=\left\lbrace a_1, a_2, a_3…\right\rbrace$ и $B=\left\lbrace b_1, b_2, b_3…\right\rbrace$. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку $a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3,…$ и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если $A\cap B\ne\varnothing$, т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается)».

Меня смущает последняя фраза. Ведь для того, чтобы установить, что это объединение счетно, нам требуется доказать, что существует биекция между этим этим объединением и $\mathbb{N}$. А раз мы игнорируем нумерацию повторяющихся элементов, то некоторые элементы остались без номеров, засим выходит не взаимно-однозначное соответствие. Что я понимаю не так?

[Aritaborian]

Множество не может содержать повторяющихся элементов. К примеру, если $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{2,3,4\}$, то $A\cup B=\{1,2,3,4\}$. Уловили?

(Про ТеХ)

Посмотрите, как я набирал фигурные скобки. Так проще.

[Fredholm]

Aritaborian, благодарю.