Автоматизация проведения касательной (треугольник Понселе)

[eugrita]

Вопрос связан с программной анимацией треугольника Понселе. (вычислительная геометрия)
Есть описанная окружность $R$ и вписанная окружность $r$ Центры находятся на расст $d=\sqrt{R^2-2Rr}$ (хотя это и необязательно) на оси X. Пусть точка 1 характеризуется углом $\varphi_1$ а точка 2 пересечения касательной к внутренн окружности характеризуется углом $\varphi_2$ на внешней (описанной) окружности
Составить аналитическую процедуру вычисления угла $\varphi_2$
У меня получилось уравнение
$r=\frac{d(\cos\varphi_1-\cos\varphi_2)+R\sin(\varphi_1 -\varphi_2 ) }{\sqrt{2-2\cos(\varphi_1 -\varphi_2)}}$
т.е после раскрытия некое тригоном. уравнение относительно $\varphi_2$
Правильное это уравнение или ошибка, в любом случае алгоритм нахождения угла $\varphi_2$ а с ним и координат 2-й точки $x_2=R \cos\varphi_2 , y_2=R \sin \varphi_2 $ выглядит громоздким даже для написания программы.
При этом надо выбрать из 2 касательных нужную.
Можнт есть какое-то иное решение?

[ИСН]

Уравнение не проверял, но там корень раскрывается и довольно много сокращается же.

[eugrita]

Ну вот, слава богу все получилосью Перепутал sin с tg
Формулы $L=\sqrt{R^2-2Rd \cos \varphi_1 +d^2}$ ,
$a=\arcsin {\frac{r}{L}}$ , $f=\operatorname{Arctg}{\frac{Rsin \varphi_1}{R \cos \varphi_1-d}}$ , $k=\tg(f-a)$ - угловой коэф-т касательной
Теперь можно делать довольно красивые анимации многоугольников катящихся по окружности.
Между прочим в МВТУ на курсе программирования Delphi дают строить анимации, но эта красивее
чем то что там предлагают. Кладу эту в свой список полезных задач

[eugrita]

Замечание самому себе и программистам. При программировании формул не забывать y откладывать в координатах экрана не вверх а вниз!
для $n=4 $ вроде
$\frac{1}{(R+d)^2}+ \frac{1}{(R-d)^2}=\frac {1}{r^2}$

А вот для других n -тяжелый случай. Вроде и формул то в истории математики нет?
Зато есть всякие теоремы о зигзагах, о замыкании

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

[eugrita]

Да, остается только гадать почему такую обширную накопленную историей исследований информациюможно прочесть здесь, но в русских материалах так и не нашел. Еле-еле формулу для $n=4$

[eugrita]

Ну вот.Понемного продвигаюсь. Сделал для 6-угольника (
формулы на http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
Когда будет строить в более-менее общем виде - выложу прогу

[eugrita]

изыскания и приемы подобные данной чисто геометрической задаче хочется применить в оптике. Для геометрической интерпретации (возможно и для расчета) известных случаев круговых, эллиптических и параболических зеркал, разныого вида источников света. Точнее надо сформулитовать. Как геометрия близка к оптике...

[Deggial]

eugrita, замечание за бессодержательное сообщение.