Гантель

[dovlato]

Назовём осью гантели прямую, проходящую через центры гантели и сферы.
Если в качестве одной из переменных взять угол поворота гантели вокруг этой оси, то
в силу симметрии гантели её потенциальная энергия не зависит от этого угла (!).
Никаких иных аксиальных сил тут нет.
След-но, покуда гантель соприкасается со сферой двумя точками, угловая скорость
вращения гантели вокруг этой оси $\omega$ будет оставаться постоянной. Это следует
непосредственно из уравнений Лагранжа

$$\frac{d}{dt}\left(dE/d\omega\right)=0$$

Другой вопрос - а когда она может потерять контакт со сферой.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #935531 писал(а):

Назовём осью гантели прямую, проходящую через центры гантели и сферы.
Если в качестве одной из переменных взять угол поворота гантели вокруг этой оси, то
в силу симметрии гантели её потенциальная энергия не зависит от этого угла (!).
Никаких иных аксиальных сил тут нет.
След-но, покуда гантель соприкасается со сферой двумя точками, угловая скорость
вращения гантели вокруг этой оси $\omega$ будет оставаться постоянной. Это следует
непосредственно из уравнений Лагранжа

$$\frac{d}{dt}\left(dE/d\omega\right)=0$$

ну это уже просто чушь какая-то, простите




Похоже, пора вносить ясность.

Введем подвижную декартову систему координат $Oxyz$, где $O$ -- центр сферы, ось $z$ проходит через середину гантели, а ось $x$ параллельна оси гантели. Положение этой системы координат относительно неподвижной декартовой системы $OXYZ$ (ось $Z$ вертикальна) зададим стандартными углами Эйлера. Это и есть обобщенные координаты нашей задачи. Выпишем в этих координатах Лагранжиан и убедимся, что это лагранжиан задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в поле силы тяжести, причем данная задача не относится ни к одному из интегрируемых случаев (Эйлера, Лагранжа, Ковалевской).
Это означает, что кроме двух первых интегралов (один интеграл энергии, а другой -- проекция кинетического момента относительно $O$ на $Z$ -- в углах Эйлера этот интеграл будет циклическим) других первых интегралов нет.

ps Про углы Эйлера и системы координат написано, конечно, из чисто педагогических соображений. Интегрируемые случаи определены совершенно инвариантно.

[Xey]

Oleg Zubelevich в сообщении #935448 писал(а):

припаяйте к Вашей гантели еще одну такуюже, серредина к середине, под прямым углом. получится интегрируемаяя система, вопрос стартового поста можно решить

Это значит , что из одной гантели юлу не сделать (падает на бок), а из двух можно (крутится интегрируемая система!).

[Skeptic]

В условии задачи сказано:

Цитата:

Щелчком перпендикулярно стержню одной из масс придаётся скорость $v$ в горизонтальном направлении.

В цитате перестроил фразу, чтобы было понятно действие щелчка.

Гантель может двигаться только в вертикальной плоскости.

[dovlato]

Xey в сообщении #935887 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #935448 писал(а):

припаяйте к Вашей гантели еще одну такуюже, серредина к середине, под прямым углом. получится интегрируемаяя система, вопрос стартового поста можно решить

Это значит , что из одной гантели юлу не сделать (падает на бок), а из двух можно (крутится интегрируемая система!).

Чертовски трудно упасть набок в положении лёжа.

-- Вт ноя 25, 2014 18:22:18 --

Zubelevich, в задаче не требуется писать закон её движения.
Зато при определённых начальных условиях вполне решаема задача, например, о наивысшей точке подъёма центра гантели.
Любопытно было бы посмотреть, что вы имеете возразить против уравнения, которое я привёл. Лучше бы без лишних слов.
Повторюсь: я утверждаю, что при произвольном скольжении по сфере, гантель, постоянно соприкасающаяся со сферой двумя точками,
будет вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг подвижной оси, проходящей центр гантели и центр сферы.

[Xey]

dovlato в сообщении #936011 писал(а):

Чертовски трудно упасть набок в положении лёжа.

Лежа на спине легко повернуться на бок (особенно имея точечные поперечные габариты)

Я лишь продолжил имеющееся отступление от задачи. Мне было интересно , что из одной гантели юла получается неустойчивой.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #936011 писал(а):

Любопытно было бы посмотреть, что вы имеете возразить против уравнения, которое я привёл.

а Вы никакого уравнения не приводили. Вот когда Вы введете обобщенные координаты, честно выпишите лагранжиан и продифференцируете его , тогда это будет уравнение, а пока это невнятная голословная чушь, основанная на плохой интуиции. Кстати, лагранжиан зависит от нескольких координат и писать производную по одной координате не указывая остальных координат вообще бессмысленно.

dovlato в сообщении #936011 писал(а):

Повторюсь: я утверждаю, что при произвольном скольжении по сфере, гантель, постоянно соприкасающаяся со сферой двумя точками,
будет вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг подвижной оси, проходящей центр гантели и центр сферы.

А я утверждаю, что это неверно, и прошу привести полное доказательство.

[dovlato]

Ну и докажу. Только чего ж словами сорить. У кого какая интуиция, "профессор", я ведь вас не спрашивал.
Вы почему-то спешите отвечать на никем не заданные и никому не интересные вопросы.
Ладно. Как-нить напишу. Уж конечно не в исполненной идиотизма декартовой системе (В сфере! блин, кто б толковал об интуиции).
А естественно - в углах. Потерпите, я суеты не люблю.

[Skeptic]

dovlato, чем вас не устраивает движение гантели, как движение маятника?

[dovlato]

Не не устраивает)). В упомянутой выше задаче 5.22 (Задачник под ред. Овчинкина) как раз именно такие виды движения и рассматриваются.
Их там два. В первом случае гантель скользит в сфере поступательно, так что вектор её скорости всё время перпендикулярен гантели.
Во втором случае она скользит "вдоль себя", оставаясь в одной вертикальной плоскости.
Но это - частные случаи, когда скорость вращения гантели вокруг оси, соединяющей её центр с центром сферы, - постоянно равна нулю.
Однако гантель, в принципе, может же ещё и вращаться вокруг этой оси. Например, если её щёлкнуть по одному из концов поперёк гантели.
Так вот я считаю, что в любом случае угловая скорость этого вращения будет оставаться постоянной.
Ес-нно, в отсутствие сил трения и при постоянном соприкосновении со сферой обеими массами.

[Skeptic]

В задачнике "Сборник задач по общему курсу физики (Заикин, Овчинкин, Прут)" подобная задача 5.22 находится в разделе "Механика. Гармонические колебания материальной точки".

[Oleg Zubelevich]

Таки ТС так и не осчастливил математическое сообщество новым случаем интегрируемости задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой

[dovlato]

Нет, не осчастливил. Я тут лагранжиан выписал, через три угла, пока только в векторном виде.
Похоже, что вы правы! Как, кстати, и Эйлер, Лагранж и Ковалевская заодно..
А молчу я потому что раз уж взялся, то хочу хотя бы для себя выяснить, что там вообще будет.
Но у меня это дело довольно долгое. А пока нет ничего такого, о чём стоило бы говорить.
Zubelevich, хочу вам выразить благодарность - кой-чему научили, и, кроме того,
спровоцировали на все эти росписи, с которыми я сейчас вожусь не спеша.

[Oleg Zubelevich]

Задачу можно спасти. В сферической чашке радиуса $r$ в поле силы тяжести без трения скользит однородный тонкий стержень массы $m$ длины $2a$. Причем

$$\frac{a}{r}=\frac{\sqrt 3}{2}.$$

Щелкают по концу стержня. Вопрос тот же, что и в стартовом посте.