Составить дифференциальное уравнение

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
Составить дифференциальное уравнение кривых, обладающих тем свойством, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении 2:1, считая от оси ординат.

Проверьте, пожалуйста.
У меня получилось так:

$$NM=2MK$$

$$y'=\pm\frac{y}{xK}=\pm\frac{yN}{x}$$

$$(MK)^2=y^2+(xK)^2$$

$$(NM)^2=x^2+(yN)^2$$

$$y^2+(xK)^2=4x^2+4(yN)^2$$

$$y^2+(\frac{y'}{y})^2=4x^2+4(y'x)^2$$

$$y^4+(y')^2=4x^2y^2+4(y')^2x^2y^2$$

[Ms-dos4]

Уже было

[ИСН]

Там толку мало, но и здесь тоже. Откуда эти безумные корни (там), степени вторые и даже четвёртые (здесь)? Вы что, длину считаете, что ли? Зачем?

[RikkiTan1]

Ну да, находил уравнение через длины соответствующих отрезков. Можно решить, не прибегая к длинам?

[ИСН]

Ну как соотносятся гипотенузы подобных треугольников? Да так же, как их катеты!

[torn]

RikkiTan1 в сообщении #934322 писал(а):

$$NM=2MK$$

$$y'=\pm\frac{y}{xK}=\pm\frac{yN}{x}$$

$$(MK)^2=y^2+(xK)^2$$

$$(NM)^2=x^2+(yN)^2$$

$$y^2+(xK)^2=4x^2+4(yN)^2$$

$$y^2+(\frac{y'}{y})^2=4x^2+4(y'x)^2$$

$$y^4+(y')^2=4x^2y^2+4(y')^2x^2y^2$$

1. во втором равенстве не \pm, а просто -
2. по логике событий пятое равенство представляет собой квадрат первого с учетом третьего и четвертого, в таком случае, в него неаккуратно подставлены выражения для (MK)^2 и (NM)^2
3. в шестом, в левой части должно быть не \left(\frac{y'}{y}\right)^2, а \left(\frac{y}{y'}\right)^2