Задача Коши

[germ9c]

$U_{tt} =U_{xx} +U_{yy} +U_{zz} +2xyz$
$U(x,y,z,0)=x^2 +y^2 -2z^2$
$U_t (x,y,z,0)=1$

Решение:
видим, что $\varphi(x) =x^2 +y^2 -2z^2$
$\psi=1$
$f(x)=2xyz$
получим:
$U(x,t)=\frac{1}{4\pi} \int_{|\xi|<t} f(\xi, t-|\xi-x|)d\xi $ $+\frac{1}{8\pi t} \int_{|\xi -x| =t} \psi(\xi) dS$ $+\frac{1}{4\pi} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{t} \int_{|\xi-x|=t} \varphi(\xi) dS)$
если учесть , то что мы знаем $\psi, \varphi,f(x)$, то как будет находиться с подстановкой $U(x,t)$, и какие будут интервалы интегрирования

[Ms-dos4]

Уравнение $\[(\frac{1}{{{a^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\nabla ^2})u = F\]$ на бесконечном промежутке по пространственным переменным и условиями
$\[\left\{ \begin{array}{l} {\left. u \right|_{t = 0}} = \varphi \\ \frac{\partial }{{\partial t}}{\left. u \right|_{t = 0}} = \psi \end{array} \right.\]$
Имеет решение $\[u = \frac{1}{{4\pi a}}\frac{\partial }{{\partial t}}\int\limits_{r = at} {\frac{{\varphi (\xi ,\eta ,\zeta )}}{r}dS} + \frac{1}{{4\pi a}}\int\limits_{r = at} {\frac{{\psi (\xi ,\eta ,\zeta )}}{r}dS} + \frac{1}{{4\pi {a^2}}}\int\limits_{r \le at} {\frac{{F(\xi ,\eta ,\zeta ,t - \frac{r}{a})}}{r}dV} \]$
где $\[r = \sqrt {{{(\xi - x)}^2} + {{(\eta - x)}^2} + {{(\zeta - x)}^2}} \]$.
Интегралы берутся по поверхности сферы (2 первых) и объёму шара.