Поле разложения многочлена

[Nurzery[Rhymes]]

Задумался о том, для чего вообще нужны все эти маленькие поля, порожденные корнем многочлена, но кажется, сам уже ответил себе на этот вопрос. На всякий случай тут спрошу.

На лекции нам показывали поле, построенное с помощью такого многочлена: над данным полем он раскладывается на скобку и некоторый неприводимый многочлен, то есть имеет вид $(x-\alpha)\cdot f(x)$. Мы берем корень неприводимого многочлена $f(x)$ и с помощью него строим поле.

Зачем для разложения этого многочлена понадобилось маленькое поле, ведь есть комплексные числа, в которых разложим любой многочлен? А мы взяли совершенно абстрактный корень этого многочлена и придумали целую алгебраическую структуру.

Или все это нужно затем, что находясь в некотором маленьком поле $F_p$ и рассматривая над ним многочлен, мы не имеет права раскладывать его в комплексных числах, потому что поле $F_p$ не является подполем в $C$? А неприводимый над $R$ многочлен мы может разложить в $C$, потому что $R$ - подполе в $C$?

И последний вопрос. Зависят ли свойства расширения поля от свойств многочлена, с помощью которого строится это расширение? Вижу несколько видов многочлена, который можно выбрать для построения поля:

1) Он раскладывается только на линейные множители в данном поле, а мы попытались с помощью него построить расширение. Возможно ли это?

2) Многочлен раскладывается на линейные многочлены и некоторый неприводимый многочлен. Изменятся ли свойства расширения, построенного по этому многочлену, по сравнению с полем, построенным с помощью неприводимого многочлена? Ведь этот многочлен как бы частично неприводим, а частично раскладывается.

3) Многочлен раскладывается на несколько неприводимых многочленов, то есть можно выбрать несколько корней, порождающих расширение. Что получится в данном случае? Поле, порожденное множеством корней, а не одним корнем?

Будут ли расширения иметь разные свойства в зависимости от вида многочлена?

[Sonic86]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

Зачем для разложения этого многочлена понадобилось маленькое поле, ведь есть комплексные числа, в которых разложим любой многочлен? А мы взяли совершенно абстрактный корень этого многочлена и придумали целую алгебраическую структуру.

А многочлен не всегда задан над $\mathbb{R}$. Он м.б. задан над конечным полем, над полем $p$-адических чисел, над полем каких-нибудь других многочленов. Обратите внимание, что расширение может быть построено над произвольным полем.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

все эти маленькие поля

Они не маленькие - зависит от основного поля.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

Или все это нужно затем, что находясь в некотором маленьком поле $F_p$ и рассматривая над ним многочлен, мы не имеет права раскладывать его в комплексных числах, потому что поле $F_p$ не является подполем в $C$? А неприводимый над $R$ многочлен мы может разложить в $C$, потому что $R$ - подполе в $C$?

Как бы да Хотя я могу ошибиться тут.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

Зависят ли свойства расширения поля от свойств многочлена, с помощью которого строится это расширение?

Да, размерность например.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

1) Он раскладывается только на линейные множители в данном поле, а мы попытались с помощью него построить расширение. Возможно ли это?

Да. Вспомните, что такое неприводимые многочлены.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

Многочлен раскладывается на линейные многочлены и некоторый неприводимый многочлен.

Еррор: текст не является утверждением.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

Изменятся ли свойства расширения, построенного по этому многочлену, по сравнению с полем, построенным с помощью неприводимого многочлена? Ведь этот многочлен как бы частично неприводим, а частично раскладывается.

Есс-но.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934230 писал(а):

3) Многочлен раскладывается на несколько неприводимых многочленов, то есть можно выбрать несколько корней, порождающих расширение. Что получится в данном случае? Поле, порожденное множеством корней, а не одним корнем?

Да. но при этом существует такой элемент, линейно выражающийся через корни, что полученное расширение - это простое расширение исходного поля (простое расширение - это расширение вида $F(\alpha)$, т.е. полученное добавлением одного элемента). Но это - уже не совсем тривиальная теорема.
Фактически есть всего 2 типа неизоморфных расширений: конечные (т.е. когда добавляемый элемент алгебраичен над полем) и трансцендентные (это когда построенное раширение $F(\alpha)$ изоморфно полю многочленов $F(x)$)

Вы можете скачать и почитать книжку Постникова Теория Галуа. Вы здесь начинаете рассуждения, почти в точности содержащиеся в 1-й главе.

[Nurzery[Rhymes]]

А что можно почитать о теории Галуа на популярном уровне, чтобы потом перейти к литературе посерьезней? Заинтересовала эта теория. Во всех учебниках, которые я находил, мне понятно меньше половины терминов, а учебники, которые начинаются с чего-то вроде "рассмотрим группу автоморфизмов" вообще не хочется открывать. Определение разрешимой группы через башню включений вообще не создает в моей голове никакой образ... Вроде эту теорию поехавший Миша Вербитский рекомендовал даже школьникам объяснять, вряд ли она обязательно должна быть настолько сложна...

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934261 писал(а):

А что можно почитать о теории Галуа на популярном уровне, чтобы потом перейти к литературе посерьезней?

М.М. Постников, "Теория Галуа".

[VAL]

nnosipov в сообщении #934265 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #934261 писал(а):

А что можно почитать о теории Галуа на популярном уровне, чтобы потом перейти к литературе посерьезней?

М.М. Постников, "Теория Галуа".

Могу порекомендовать классику: Ван дер Варден. Алгебра.
Конечно, нельзя сказать, что там изложение ведется на элементарном уровне (насколько я понимаю понимаю, элементарное изложение теории Галуа невозможно в принципе), но все строится постепенно, а не начиная со слов "возьмем группу автоморфизмов...".

Несколько слов по поводу Ваших вопросов:

Построение простого алгебраического расширения возможно только при помощи неприводимого многочлена. Если взять приводимый многочлен $f(x)$, то факторкольцо кольца многочленов над исходным полем, по главному идеалу, порожденному $f(x)$, не будет полем, так как возникнут делители нуля.

Конечно, это не означает, что мы не можем построить поле разложения приводимого многочлена. Можем. Но построение надо проводить в несколько этапов:
Сначала, с помощью простого алгебраического расширения присоединим корень одного неприводимого сомножителя степени больше первой. В полученном поле исходный многочлен будет иметь больше неприводимых сомножителей, чем у него было до расширения исходного поля (в том числе, гарантированно один линейный). Возьмем среди этих сомножителей неприводимый полином степени выше первой и построим простое алгебраическое расширение, расширения полученного на первом этапе. И т. д., пока исходный многочлен не разложится на линейные множители.
В результате мы получим поле разложения исходного многочлена.
Кстати, существование поля разложения у любого многочлена используется в "наиболее алгебраическом" доказательстве основной теоремы алгебры многочленов.

Расширение исходного поля с использованием неприводимых многочленов первой степени ни к чему не приведет. То есть, приведет к расширению, изоморфному исходному полю.

Простое алгебраическое расширение числового поля, хотя и не лежит в $\mathbb C$, но изоморфно вкладывается туда (причем несколькими способами).

И последнее. Использование структуры простого алгебраического расширения позволяет конструктивно организовать вычисления в этом расширении, если мы умеем проводить их в исходном поле. Этот важный момент, в частности, используется в системах компьютерной алгебры.