Доказать непрерывность.

[integral2009]

Доказать непрерывность $f(x)=3x^2+\frac{1}{x}$ на отрезке $[1;4]$

Нужно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашелся $\delta>0$ такой что, дельтаокрестность точки $x_0$ содержалась бы в эпсилонокресности этой же точки.

$\left|3(x-x_0)(x+x_0)+\dfrac{x_0-x}{xx_0}\right|=|x-x_0|\left|3x+3x_0+\dfrac{1}{xx_0}\right|<\varepsilon$

Притом $|x-x_0|<\delta$.

В том ли направлении иду, подскажите, плиз, что делать дальше, если верно?

[Brukvalub]

Верно. Осталось оценить сверху второй множитель.

[provincialka]

integral2009 в сообщении #934198 писал(а):

такой что, дельтаокрестность точки $x_0$ содержалась бы в эпсилонокресности этой же точки.

Ну, не совсем так... Но решать начали правильно. Разве что "минус" должен быть в скобках, но это мелочи.

[mihailm]

Максимум производной надо найти)

[integral2009]

Спасибо, пока что нет идей насчет оценки второго множителя

$|x-x_0|\left|3x+3x_0-\dfrac{1}{xx_0}\right|<\delta\left|3x+3x_0-\dfrac{1}{xx_0}\right|$

Разве что такая:

$\left|3x+3x_0-\dfrac{1}{xx_0}\right|=\left|3x-3x_0+6x_0-\dfrac{1}{xx_0}\right|<\left|3\delta +6\cdot 4-\dfrac{1}{1}\right|=3\delta+23$

Но не бред ли это?

[provincialka]

Не бред. Теперь можете считать, например, что $\delta <1$. Впрочем, в вашем примере никакое $\delta$ и не нужно, ведь у вас есть границы и для $x_0$, и для $x$.