Наименьшее индуктивное множество

[gefest_md]

В первой главе у Зорича предлагается такая задача. Пусть $x\in\mathbb{N}_0$. Доказать, что $\mathrm{card}\,x<\mathrm{card}\,x^+$. Понятно, что $\mathrm{card}\,x\leqslant\mathrm{card}\,x^+$. Как доказать, что не существует биекции $f\colon x\to x^+$? Знаю, что $x\notin x.$ Зорич до этой задачи говорит о бесконечности дважды: аксиома бесконечности и определение по Дедекинду. Допустим существует биекция. Тогда по Дедекинду $x$ - бесконечно, что неверно, но не знаю как доказать.

И ещё одно замечание. В первой главе ничего не говорится про индукцию. В конце главы есть задача $x^+=y^+\Rightarrow x=y$. Возможно ли её решить, не применяя индукцию?

[gefest_md]

Мне кажется, что принцип индукции легко вытекает из аксиомы бесконечности. Если так, то это для меня откровенное открытие.