Равномерная сходимость ряда

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Есть такой ряд

$$\sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}, X=(-\infty,+\infty)$$

И вроде этот ряд не сходится равномерно на $X$, потому что ряд

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n}}}, X=[0,2\pi]$$

не сходится равномерно.
Я беру $x_n=\frac{\pi}{4(n+1)}$ и получаю

$$\sum\limits_{k=n+1}^{2n}{\frac{{\sin kx_n}}{{k\ln k}}}>\frac{1}{\sqrt[2]2}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k \ln k}$$

Подскажите, пожалуйста, какой константой можно оценить последнюю сумму.

[provincialka]

Может, сравнить с аналогичным интегралом? Он берущийся.

[RikkiTan1]

Эм, что сравнить с интегралом?
$\int \frac{dk}{k \ln k}=\ln \ln k$
и ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty{\frac{{1}}{{n\ln n}}}$ расходится.

[provincialka]

Кусок ряда сравнить с куском интеграла и таким образом оценить. Примерно как в интегральном признаке. Вы же именно про кусок ряда спрашивали?

[patzer2097]

Проблема в том, что $\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k \ln k}$ - это о малое от единицы, и потому с равномерностью сходимости (по крайней мере, на множестве точек $x_n$, рассмотренных ТС) все в порядке.

[VanD]

На самом деле Вам достаточно показать, что при всяком фиксированном $N$ расходится $\sum\limits_{k=N+1}^{3N}\frac{1}{k \ln k} + \sum\limits_{k=7N+1}^{9N}\frac{1}{k \ln k} + \sum\limits_{k=13N+1}^{15N}\frac{1}{k \ln k} + ... $. Тогда при $\mathcal{E} = 1 \ \forall N \ \exists \ m, p$ такие, что ...

Upd
Хотя нет, похоже, что я ошибся.

[provincialka]

patzer2097, да, причем оценка через интеграл в некотором смысле "точная", так как ее можно сделать снизу, и сверху.