Электродинамика, потенциал электрического поля

[EgZvor]

Подскажите, пожалуйста, какие принципы, формулы применяются в задаче.

Бесконечный цилиндр радиуса &R& заряжен равномерно по объему. На единицу длины слоя приходится заряд &\tau(\tau > 0)$. Вещество слоя диэлектрик с $\varepsilon = 3$. Найти потенциал $\varphi(r)$ электрического поля. Построить (схематично) график функции $\varphi(r)$ (введите цилиндрические координаты, ось &Oz& совмещена с осью цилиндра).

[Mihr]

Вообще-то, задача некорректна. Приводит к расходящемуся интегралу (если я правильно понял её условие).
Но решение наметить можно.
Найдите вначале напряжённость эл. поля в произвольной точке (воспользуйтесь для этого теоремой Гаусса).
Затем вспомните, как связан потенциал с напряжённостью, и составьте выражение для потенциала.
(Не говорю: посчитайте. Посчитать не получится).

[amon]

Все там хорошо, только потенциал на бесконечности - бесконечность. Но ни кто не обещал, что он должен быть нулем. По теме - либо складывайте потенциалы проволок, либо по Гауссу находите $\mathbf{E}$ и по нему - $\varphi$.

[Mihr]

Цитата:

Все там хорошо, только потенциал на бесконечности - бесконечность

Не так уж хорошо. При естественном определении потенциала он оказывается бесконечным именно в любой точке, находящейся на конечном расстоянии от оси цилиндра.
Чтобы задача имела смысл, нужно ввести в условие дополнение: потенциал в такой-то точке положить равным нулю.

[amon]

Сейчас мы начнем спорить, и решим задачу за ТС. Пусть он сначала отреагирует.

[DimaM]

EgZvor в сообщении #933558 писал(а):

Бесконечный цилиндр радиуса $R$ заряжен равномерно по объему. На единицу длины слоя приходится заряд $\tau(\tau > 0)$. Вещество слоя диэлектрик с $\varepsilon = 3$.

Так цилиндр или слой?

-- 20.11.2014, 10:51 --

Mihr в сообщении #933667 писал(а):

Вообще-то, задача некорректна. Приводит к расходящемуся интегралу (если я правильно понял её условие).

Если выбрать, например, ноль потенциала на оси цилиндра, то расходиться будет на бесконечности (логарифмически), что не страшно. Физически бесконечность забарывается введением конечной (хоть и большой) длины цилиндра.

[EgZvor]

Mihr в сообщении #933675 писал(а):

Цитата:

Все там хорошо, только потенциал на бесконечности - бесконечность

Не так уж хорошо. При естественном определении потенциала он оказывается бесконечным именно в любой точке, находящейся на конечном расстоянии от оси цилиндра.
Чтобы задача имела смысл, нужно ввести в условие дополнение: потенциал в такой-то точке положить равным нулю.

Сила поля уменьшается при удалении от источника, поэтому при определении потенциала за нуль принимаем потенциал в точке $M(\overrightarrow{r_1})$, лежащей в бесконечности.

-- 20.11.2014, 13:29 --

Цитата:

Так цилиндр или слой?

-- 20.11.2014, 10:51 --

Я, если честно, сам эту формулировку не понимаю, мне кажется это что-то вроде цилиндр разбит на "круги", для каждого из них есть заряд \tau, следовательно нужно что-то проинтегрировать по длине цилиндра.

[warlock66613]

EgZvor в сообщении #933753 писал(а):

поэтому при определении потенциала за нуль принимаем потенциал в точке $M(\overrightarrow{r_1})$, лежащей в бесконечности

Совершенно не поэтому. Потенциал определён с точностью до константы. Поэтому если потенциал стремится к постоянному значению на бесконечности, можно принять это постоянное значение за ноль. А можно и не за ноль.

[EgZvor]

Цитата:

Совершенно не поэтому. Потенциал определён с точностью до константы. Поэтому если потенциал стремится к постоянному значению на бесконечности, можно принять это постоянное значение за ноль. А можно и не за ноль.

Это просто вырвано из контекста, суть в том, что принимаем \varphi за 0 в бесконечности.

[amon]

EgZvor в сообщении #933757 писал(а):

суть в том, что принимаем &\varphi& за 0 в бесконечности.

Открываем учебник, смотрим чему равен потенциал заряженной плоскости или равномерно заряженного провода. Дивимся увиденному, и еще раз пытаемся понять, что такое электростатический потенциал.

[EgZvor]

amon в сообщении #933759 писал(а):

EgZvor в сообщении #933757 писал(а):

суть в том, что принимаем &\varphi& за 0 в бесконечности.

Открываем учебник, смотрим чему равен потенциал заряженной плоскости или равномерно заряженного провода. Дивимся увиденному, и еще раз пытаемся понять, что такое электростатический потенциал.

Я так понял, что в этой задаче потенциал стремится к бесконечности в бесконечности?

[DimaM]

EgZvor в сообщении #933762 писал(а):

Я так понял, что в этой задаче потенциал стремится к бесконечности в бесконечности?

Для цилиндра бесконечно длины - да. Но это не должно пугать, поскольку бесконечно длинных цилиндров в природе не бывает. У цилиндра же конечной длины потенциал будет стремиться к нулю на бесконечности.

[EgZvor]

DimaM в сообщении #933764 писал(а):

EgZvor в сообщении #933762 писал(а):

Я так понял, что в этой задаче потенциал стремится к бесконечности в бесконечности?

Для цилиндра бесконечно длины - да. Но это не должно пугать, поскольку бесконечно длинных цилиндров в природе не бывает. У цилиндра же конечной длины потенциал будет стремиться к нулю на бесконечности.

К сожалению у меня в задаче бесконечный цилиндр.

[DimaM]

EgZvor в сообщении #933766 писал(а):

К сожалению у меня в задаче бесконечный цилиндр.

От вас никто не требует находить потенциал на бесконечности ;).
Возьмите ноль на оси цилиндра (или на краю, или в любой фиксированной точке) и считайте себе спокойно.
Напряженность поля хоть выразили? Чему она равна?

[EgZvor]

DimaM в сообщении #933768 писал(а):

Чему она равна?

$E_r(r)2&\pi&Rl = \frac{q}{3\varepsilon_0}$

-- 20.11.2014, 14:14 --

Это только для &r > R&, и еще не знаю, как это q найти.

-- 20.11.2014, 14:18 --

О, я понял, &\tau& это ведь линейная плотность заряда?