Механика. Равнодействующая сил инерции.

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
Плоская фигура массы $m$ движется по плоскости, которая вращается с переменной угловой скоростью $\omega=\int_{0}^{t}\varepsilon(\tau)d\tau$ вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости и не проходящей через центр масс фигуры.
1) Показать, что в системе отсчета, жестко связанной с плоскостью, как переносные, так и кориолисовы силы инерции точек фигуры приводятся к одной силе (равнодействующей).
2) На каком расстоянии $h$ от центра масс находится линия действия равнодействующей переносных сил инерции, если момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно плоскости, равен $J$ и расстояние от оси вращения плоскости до центра масс фигуры равно $a$?

Возьмём, к примеру, переносные силы. Главный вектор этих сил $\overline{F}_c=-\sum {m_k (\overline{\varepsilon} \times \overline{OP_k}+\overline{\omega} \times (\overline{\omega} \times \overline{OP_k}))}$. $O$ - точка на оси вращения плоскости, $P_k$ - точка фигуры. Этот вектор приводится к виду: $F_c=-m\overline{\varepsilon} \times \overline{OC}-m\overline{\omega} \times (\overline{\omega} \times \overline{OC})$. Где $C$ - центр масс фигуры.

Но нам ещё нужно знать сумму моментов переносных сил (допустим, относительно той же точки $O$): $M_O=-\sum {m_k \overline{OP_k} \times (\overline{\varepsilon} \times \overline{OP_k}+\overline{\omega} \times (\overline{\omega} \times \overline{OP_k}))}$.

И преобразование вот этой штуковины к какому-нибудь удобному виду вызывает у меня затруднения. Подскажите, пожалуйста, как её получше преобразовать, чтобы ответить на вопросы задачи?

[12d3]

Упрощается по правилу раскрытия двойного векторного произведения "бац минус цаб".
И алгоритм немного не такой. Вам нужно найти такую точку $P$, относительно которой момент $M(P)=-\sum {m_k (\overline{OP_k}-\overline{OP} )\times (\overline{\varepsilon} \times \overline{OP_k}+\overline{\omega} \times (\overline{\omega} \times \overline{OP_k}))} = 0$. Точнее, это будет множество точек, являющееся линией приложения равнодействующей.
Для кориолисовых сил аналогично.

[tech]

12d3
Большое спасибо за алгоритм. "Бац минус цаб"-то и так понятно, но действуя по-старому, я бы ещё долго промучился.

[epdo_xero]

Тоже столкнулся с этой задачкой. Так и не понял, как решить.
$M_{O'} = M_O+ \vec{F} \times \vec{OO'} = 0$ для некоторого полюса $O'$, а $O$ - точка на оси вращения.
Воспользовавшись уравнением выше, я получил:
$ m \vec{\varepsilon} (\vec{CO'} ,\vec{OC}) - \omega^2 [\vec{CO'} \times \vec{OC}] = J\varepsilon$, где J - момент инерции относительно центра масс (дан в условии).
Как мне теперь все это упростить и получить h? ($| \vec{CO'}| = h$)
Сколько ни пытался все синусы, косинусы вылезают, от которых никак не избавиться.