Сравнение норм

[demolishka]

В пространстве дифференцируемых финитных функций $C_0^1([1;+\infty))$ заданы две нормы: $\|x\|_1 = \max|x(t)|$ и $\|x\|_2 = |x(1)| + \max|t^{10}x'(t)|$.
1.Верно ли, что одна норма сильнее другой?
2.Верно ли, что нормы эквивалентны?

Со вторым вопросом проблем нет: достаточно рассмотреть семейство $x_R(t) = t, 1 \leq t \leq R$ (и, например, при $R < t \leq 2R$ дополним до убывающей к $0$ дифференцируемой функции). На этом семействе нарушается оценка $\|x\|_2 \leq A\|x\|_1, A>0$. Так что $\|.\|_1$ не может быть сильнее $\|.\|_2$. Следовательно, они не эквивалентны.

Вот с первым вопросом что-то не получается. Кажется, что $\|.\|_2$ сильнее $\|.\|_1$, но строго объяснения этому придумать не могу.