теорема Шрёдера-Бернштейна

[gefest_md]

Для доказательства этой теоремы достаточно доказать предложение (Зорич)

Цитата:

Если множества $X,\ Y,\ Z$ таковы, что $X\supset Y\supset Z$ и $\mathrm{card}\, X=\mathrm{card}\, Z$, то $\mathrm{card}\,X=\mathrm{card}\,Y$.

Теорему начинаю доказывать так. Пусть $\mathrm{card}\,X\leqslant\mathrm{card}\,Y$ и $\mathrm{card}\,Y\leqslant\mathrm{card}\,X$.

Тогда
$\mathrm{card}\,X=\mathrm{card}\,T$, где $T\subset Y$,
$\mathrm{card}\,Y=\mathrm{card}\,U$, где $U\subset X$.

Возьмём множество $Y_1$ такое, что $\mathrm{card}\,Y_1=\mathrm{card}\,Y$ и $Y_1\cap X=\varnothing.$ Тогда также $\mathrm{card}\,Y_1=\mathrm{card}\,U$

Также имеем $\mathrm{card}\, T\leqslant\mathrm{card}\,Y=\mathrm{card}\, Y_1$. Т.е. можно выбрать такое $T_1\subset Y_1$, что $\mathrm{card}\, T=\mathrm{card}\, T_1.$

Далее в качестве $X\supset Y\supset Z$ из предложения можно взять цепочку $T_1\subset Y_1\subset Y_1\cup(X\setminus U).$

Вроде бы правильно, но мне не нравится. Чем обоснован выбор множества $Y_1$?

[mishafromusa]

Довольно остроумное доказательство этой теоремы даётся в книжке Колмогорова и Фомина "Элементы Теории Функций и Функционального Анализа." Может оно Вам понравися больше.