Критерий доказуемости

[maximk]

Помогите пожалуйста разобраться студенту фактически с нуля.
Существуют ли критерии доказуемости?
Существуют ли недоказуемые утверждения в разделах математики, не содержащих арифметику? (И здесь желательно очень подробно, содержащих арифметику в каком смысле, в качестве аксиом?)
Очень интересует этот вопрос, но нет сил бороздить просторы математической логики только лишь для того, чтобы разобраться в вопросе о том, как узнать, доказуемо ли утверждение Т.
Вдруг займусь какой-либо математической проблемой, потрачу много сил и времени на ее решение, а в результате окажется, что она и вовсе недоказуема.

[longstreet]

maximk в сообщении #931310 писал(а):

потрачу много сил и времени на ее решение

Это может вылиться в развитие других задач/областей. Чем плохо?

[arseniiv]

maximk в сообщении #931310 писал(а):

Вдруг займусь какой-либо математической проблемой, потрачу много сил и времени на ее решение, а в результате окажется, что она и вовсе недоказуема.

Не стоит возводить это в статус паранойи.

maximk в сообщении #931310 писал(а):

Существуют ли критерии доказуемости?

Это зависит от теории. В некоторых теориях — типа чистого исчисления высказываний — выводимость или невыводимость любой формулы можно определить гарантированно. Например, если правила вывода не украчивают формулы, можно просто перебрать конечное число возможных выводов, проверяя, является ли какой-то из них действительно выводом искомой формулы.

[ИСН]

maximk в сообщении #931310 писал(а):

Вдруг займусь какой-либо математической проблемой, потрачу много сил и времени на ее решение, а в результате окажется, что она и вовсе недоказуема.

Не делите шкуру неубитого мамонта, во-первых. А во-вторых, если уж на то пошло, обоснованная недоказуемость встречается реже и потому принесёт Вам даже больше славы, чем собственно решение.

[maximk]

Я не жажду славы и не хочу заниматься тем, что мне не интересно.
Проще к вам, знающим обратиться, прежде чем начинать заниматься какой-то открытой проблемой =D
Допустим, я изучаю свойства нашего пространства-времени с топологической точки зрения, могут ли здесь встретиться "замуты" с недоказуемостью?
И в статус паранойи не возвожу, просто не исключаю возможности, что может попасться недоказуемая задача.

[arseniiv]

maximk в сообщении #931356 писал(а):

Допустим, я изучаю свойства нашего пространства-времени с топологической точки зрения, могут ли здесь встретиться "замуты" с недоказуемостью?

Как по мне, описание, чтобы дать определённый ответ, довольно смутное. (Ясно, что надо взять аксиомы топологии, довводить нужных — а вот какие вам нужны и какие не, кто ж знает?)

(Кстати, что такое «нашего»? Как вы математически отделите наше от не нашего?)

[maximk]

А что если я буду использовать стандартную аксиоматику общей топологии?
А вот это хороший вопрос, над этим еще не задумывался. Как переговорю с физиками, решу что-нибудь.

А не кажется ли вам, что для любого математического утверждения существует такой набор аксиом, что это утверждение будет выводимо из них? Я это к тому, что понятие истины относительно и в какой-то мере здесь применима поговорка "Кто ищет - всегда найдет". Один ученый убежден, что реальность устроена так, а не иначе, он ищет способ доказать это по-научному, в конце-концов находит. Другой с ним не согласен, строит другую теорию. И это продолжается и продолжается.. А не может ли быть так, что они все одновременно правы, каждый строит свою реальность, все изучают лишь отдельные аспекты реальности, а на самом деле все возможно и представляется в виде объединения всех взглядов на нее с различных точек зрения? (см. например "Трансерфинг реальности" Зеланда).
Если это так, то получается, что игрой поглощен в наибольшей степени тот, кто владеет "большим объемом информации" в математике (или в другой области), и просто занимается творчеством - доказательством теорем (или эмпирическими доказательствами) (что сопоставимо с воссозданием картин художником)?

[maximk]

Последнее мое высказывание можно опровергнуть)

[arseniiv]

maximk в сообщении #931614 писал(а):

А что если я буду использовать стандартную аксиоматику общей топологии?

Там нет, например, аксиомы, фиксирующей размерность равной 4. Все свойства рассматриваемых пространств вам надо будет включить в аксиомы, иначе, очевидно, объектами теории будут не только они.

maximk в сообщении #931614 писал(а):

А не кажется ли вам, что для любого математического утверждения существует такой набор аксиом, что это утверждение будет выводимо из них?

Потому-то математические теории так любят проверять на непротиворечивость. Если теория непротиворечива, «что угодно» из неё не выведешь. Т. е. нельзя вывести утверждение вместе с его отрицанием, или равенство любых двух элементов, или построить элемент пустого типа и т. п. (применимы в зависимости от строения теории). Можно подобрать теорию так, чтобы в ней выводилось нужное утверждение (хотя бы просто добавить его к аксиомам), но в ней при этом могут не выводиться другие интересующие, а добавление некоторых аксиом вообще автоматически сделает теорию противоречивой. Так что всё можно, но не всё полезно.

maximk в сообщении #931614 писал(а):

Один ученый убежден, что реальность устроена так, а не иначе, он ищет способ доказать это по-научному, в конце-концов находит. Другой с ним не согласен, строит другую теорию. И это продолжается и продолжается.. А не может ли быть так, что они все одновременно правы, каждый строит свою реальность, все изучают лишь отдельные аспекты реальности, а на самом деле все возможно и представляется в виде объединения всех взглядов на нее с различных точек зрения?

Нет. Естественнонаучные модели — это кое-что проверяемое экспериментально. Не следует смешивать их с математическими, хотя они и содержат в себе последние. Но содержат ещё и «связи» с опытом, которые как раз и позволяют применять их на практике и проверять.

-- Вс ноя 16, 2014 17:09:35 --

maximk в сообщении #931614 писал(а):

А вот это хороший вопрос, над этим еще не задумывался. Как переговорю с физиками, решу что-нибудь.

Что там переговаривать-то? ОТО должна, вроде, как-то очерчивать, что требуется от пространственно-временного многообразия. Вот это в аксиомы и пишите.

-- Вс ноя 16, 2014 17:19:30 --

arseniiv в сообщении #931738 писал(а):

Естественнонаучные модели — это кое-что проверяемое экспериментально.

Конечно, это не отрицает того, что две или три разные могут при этом давать одинаково хорошее совпадение с опытом. Или одна, например, точнее, но в описании некоторых явлений другая достаточно точна, чтобы использовать её вместо первой, если в той сложнее расчёты. Но чтобы прям «они все одновременно правы» — увы, нет. Наша реальность до текущего момента в одинаковых опытах давала одинаковые в пределах точности измерений результаты, так что какую угодно модель на них натянуть не выйдет.

[maximk]

Там нет, например, аксиомы, фиксирующей размерность равной 4. Все свойства рассматриваемых пространств вам надо будет включить в аксиомы, иначе, очевидно, объектами теории будут не только они.
Но будет ли после добавления этих аксиом теория непротиворечивой и полной? И еще кое-что, ведь опыты показывают неоднородность и анизотропность нашего пространства, так что в силу искривленности пространства его размерность не будет равной 4 (насколько мне известно она чуть больше 3, если время рассматривать отдельно (если оно вообще существует)). В связи с этим очень много трудностей возникает.
Я по специальности математик, а не физик, вот и думаю, стоит ли мне столько времени и сил тратить на постижение ОТО (чьи постулаты к настоящему моменту опровергнуты, насколько мне известно) и других теорий, или же просто доказывать теоремы алгебры, топологии и т.д., что рано или поздно возможно и найдет применение к теоретической физике специалистами в соответствующих областях.

[Deggial]

maximk в сообщении #931933 писал(а):

Там нет, например, аксиомы, фиксирующей размерность равной 4. Все свойства рассматриваемых пространств вам надо будет включить в аксиомы, иначе, очевидно, объектами теории будут не только они.

arseniiv в сообщении #931738 писал(а):

Там нет, например, аксиомы, фиксирующей размерность равной 4. Все свойства рассматриваемых пространств вам надо будет включить в аксиомы, иначе, очевидно, объектами теории будут не только они.

maximk, замечание за неправильное оформление цитаты. Цитаты оформляйте с помощью кнопок и , либо вручную тегом quote.

maximk в сообщении #931933 писал(а):

ОТО (чьи постулаты к настоящему моменту опровергнуты, насколько мне известно)

за подобные высказывания здесь можно схлопотать предупреждение и потом бан.

[arseniiv]

maximk в сообщении #931933 писал(а):

Но будет ли после добавления этих аксиом теория непротиворечивой и полной?

Так добавьте их сначала — потом посмотрим. (Лично мне лезть в топологию вместо вас и формулировать аксиомы ну совсем не хочется. Или искать источники, где какая-то часть этого проделана — такие вполне могут быть.)

maximk в сообщении #931933 писал(а):

И еще кое-что, ведь опыты показывают неоднородность и анизотропность нашего пространства, так что в силу искривленности пространства его размерность не будет равной 4 (насколько мне известно она чуть больше 3, если время рассматривать отдельно (если оно вообще существует)).

maximk в сообщении #931933 писал(а):

(чьи постулаты к настоящему моменту опровергнуты, насколько мне известно)

Что значит «постулаты опровергнуты»? Вы точно математик?

maximk в сообщении #931933 писал(а):

стоит ли мне столько времени и сил тратить на постижение ОТО

Хм, как будто это математически что-то архисложное. Псевдориманово многообразие, тензоры… Если не пытаться решать уравнения Эйнштейна, то, наверно, это можно пережить. (Сам я, правда, не начинал ещё — но никаких непреодолимых трудностей пока не вижу.)

[maximk]

Поспешил с высказываниями на счет теории относительности, это все моя неосведомленность. Просто смотрел фильмы, где рассказывают, что вопреки постулату (теории отностильности ли?) об однородности пространства опыты показывают, что это не так. Также экспериментально показано, что можно развить скорость, превосходящую скорость света. Ну и на счет третьего постулата схожая ситуация.

Могу ошибаться, но не кажется ли вам, что целочисленная размерность пространства - слишком маловероятно в реальности в связи с искривленностью последнего?

Наверное когда-нибудь возьмусь за поиски статей в этом направлении, а пока нужно учиться мне, набираться знаний. Да и с областью научных интересов еще до сих пор не определился, математическая физика, топология, геометрия или может быть квантовая механика?
Всему свое время.

[arseniiv]

maximk в сообщении #932187 писал(а):

Также экспериментально показано, что можно развить скорость, превосходящую скорость света.

Когда, где?

maximk в сообщении #932187 писал(а):

Могу ошибаться, но не кажется ли вам, что целочисленная размерность пространства - слишком маловероятно в реальности в связи с искривленностью последнего?

Целочисленная размерность и искривление прекрасно сочетаются. А вот чтобы говорить о дробных размерностях пространства, их надо сначала определить.

[мат-ламер]

maximk в сообщении #931310 писал(а):

Существуют ли критерии доказуемости?

Если теорему удалось доказать, то она доказуема. (С недоказуемостью посложней.)