Лэнг (Ленг), Алгебра, нормальные подгруппы и нормализатор

[lim(f(x))]

У Лэнга в английском издании в разделе про нормальные подгруппы, стр. 17, говорится примерно следующее: пусть $K,H$ - подгруппы $G$, предположим, что $H$ принадлежит нормализатору $K$. Тогда, очевидно, что $K \cap H $ - нормальная подгруппа $H$, и так же очевидно, что $HK = KH$ - подгруппа $G$.

Что $HK = KH$ - действительно очевидно, а почему $K \cap H $ - нормальная подгруппа $H$, я не могу понять уже давно. Если бы $H$ была в централизаторе, то $hk = kh$ выполнялось бы для каждого $ k \in K $ и $h \in H$, но в случае с нормализатором в общем случае выполняется только $hK= Kh$ для $h \in H$.
Что я упускаю?

[AV_77]

Пусть $x \in H \cap K$. Если $h \in H$, то $hxh^{-1} \in H$, так как $x \in H$, и $hxh^{-1} \in K$, так как $x \in K$ и $H$ лежит в нормализаторе $K$.

[lim(f(x))]

Спасибо. Действительно, не так сложно.