Сходимость в L1

[Dandeliona]

Задача такая: $\{f_n\}_{n\ge 1}$ и $f$ измеримы на $(X,\mathcal B,\mu)$, причем $\mu(X)<\infty$, $f_n\to f$ почти всюду. Известно, что $\int f_n^2\,d\mu\le C<\infty$. Как отсюда получить $f_n\to f$ в $L^1$?

[Oleg Zubelevich]

например, использовать тот факт, что для любого $\epsilon>0$ существует множество $E\subset X,\quad \mu(X\backslash E)<\epsilon$ на котором последовательность сходится равномерно

[Dandeliona]

Oleg Zubelevich в сообщении #931510 писал(а):

например, использовать тот факт, что для любого $\epsilon>0$ существует множество $E\subset X,\quad \mu(X\backslash E)<\epsilon$ на котором последовательность сходится равномерно

Спасибо большое!!!
Кому интересно:
Пусть $\varepsilon>0$. По теореме Егорова существует множество $E\subset X$, $\mu(E)<\varepsilon$, что на $E^c$ сходимость равномерная, т.е. существует $N$, что $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ для всех $n\ge N$ и $x\in E^c$.

По лемме Фату

$$\int_E f^2=\int_E \liminf_{n\to\infty}f_n^2 \le \liminf_{n\to\infty}\int_E f_n^2\le C,$$

и по неравенству Гельдера для всех $n$

$$ \int_E |f_n-f|\le \int_E |f_n|+\int_E |f| \le \left(\int_E f_n^2\right)^\frac{1}{2}\,\left(\int_E 1^2\right)^\frac{1}{2}+\left(\int_E f^2\right)^\frac{1}{2}\,\left(\int_E 1^2\right)^\frac{1}{2} \le (\mu(E))^\frac{1}{2}\,\left(C^\frac{1}{2}+C^\frac{1}{2}\right).$$

Поэтому при $n\ge N$

$$\int_X |f_n-f|=\int_E |f_n-f|+\int_{E^c} |f_n-f|\le 2\sqrt{ C\varepsilon}+ \int_{E^c} \varepsilon=2\sqrt{ C\varepsilon}+\varepsilon \mu(E^c).$$

Все.

[sup]

В Вашем доказательстве используется предположение, что $f \in L_2(X)$. Но в условии задачи его нет.

-- Вс ноя 16, 2014 14:56:31 --

Упс. Виноват. Не заметил. Прошу прощения.