2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость в L1
Сообщение15.11.2014, 02:00 


05/09/14
19
Задача такая: $\{f_n\}_{n\ge 1}$ и $f$ измеримы на $(X,\mathcal B,\mu)$, причем $\mu(X)<\infty$, $f_n\to f$ почти всюду. Известно, что $\int f_n^2\,d\mu\le C<\infty$. Как отсюда получить $f_n\to f$ в $L^1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость в L1
Сообщение15.11.2014, 23:10 


10/02/11
6786
например, использовать тот факт, что для любого $\epsilon>0$ существует множество $E\subset X,\quad \mu(X\backslash E)<\epsilon$ на котором последовательность сходится равномерно

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость в L1
Сообщение16.11.2014, 09:09 


05/09/14
19
Oleg Zubelevich в сообщении #931510 писал(а):
например, использовать тот факт, что для любого $\epsilon>0$ существует множество $E\subset X,\quad \mu(X\backslash E)<\epsilon$ на котором последовательность сходится равномерно


Спасибо большое!!!
Кому интересно:
Пусть $\varepsilon>0$. По теореме Егорова существует множество $E\subset X$, $\mu(E)<\varepsilon$, что на $E^c$ сходимость равномерная, т.е. существует $N$, что $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ для всех $n\ge N$ и $x\in E^c$.

По лемме Фату $$\int_E f^2=\int_E \liminf_{n\to\infty}f_n^2 \le \liminf_{n\to\infty}\int_E f_n^2\le C,$$ и по неравенству Гельдера для всех $n$
$$
 \int_E |f_n-f|\le \int_E |f_n|+\int_E |f|
\le \left(\int_E f_n^2\right)^\frac{1}{2}\,\left(\int_E 1^2\right)^\frac{1}{2}+\left(\int_E f^2\right)^\frac{1}{2}\,\left(\int_E 1^2\right)^\frac{1}{2}
 \le (\mu(E))^\frac{1}{2}\,\left(C^\frac{1}{2}+C^\frac{1}{2}\right).$$

Поэтому при $n\ge N$
$$\int_X |f_n-f|=\int_E |f_n-f|+\int_{E^c} |f_n-f|\le 2\sqrt{ C\varepsilon}+ \int_{E^c} \varepsilon=2\sqrt{ C\varepsilon}+\varepsilon \mu(E^c).$$

Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость в L1
Сообщение16.11.2014, 11:53 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
В Вашем доказательстве используется предположение, что $f \in L_2(X)$. Но в условии задачи его нет.

-- Вс ноя 16, 2014 14:56:31 --

Упс. Виноват. Не заметил. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group