Сходимость ряда

[Jiggy]

Вечер добрый. Никак не могу разобраться с рядом:
$ \sum\limits_{1}^{ \infty } \frac{(n!)^{1/n}}{ n^{5/2}}$

Что я только не пытался делать. Пробовал приделать и формулу Стирлинга и оценку факториала: $(n/e)^n < n! < e\cdot((n/2)^n)$.
Ничего как-то не выходит. Кто подскажет?

[provincialka]

А чем последняя оценка (сверху) вам плоха? Сразу дает ответ!

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931003 писал(а):

А чем последняя оценка (сверху) вам плоха? Сразу дает ответ!

Просто вроде по этой оценке, если даламбера использовать, то 1 в пределе будет. Возможно я ошибаюсь.

[provincialka]

Так Даламбера использовать не надо. Используйте оценку (т.е. метод сравнения).

Даламбер вкупе с (радикальным) Коши "вылавливают" сходимость геометрического типа (как у геометрического ряда). А тут явно обобщенно-гармоническая.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931008 писал(а):

Так Даламбера использовать не надо. Используйте оценку (т.е. метод сравнения).

Даламбер вкупе с (радикальным) Коши "вылавливают" сходимость геометрического типа (как у геометрического ряда). А тут явно обобщенно-гармоническая.

$a(n) < \frac{e^{1/n} \cdot n/2}{n^{5/2}} \leqslant \frac{e}{2 \cdot n^{3/2} }$
Верно?

[provincialka]

Вот вот. Какая степень у $n$ в знаменателе?

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931015 писал(а):

Вот вот. Какая степень у $n$ в знаменателе?

3/2, значит сходится)

[Evgenjy]

Можно проще
$(n!)^{1/n}<n$