Найти все Многочлены (Шелковый путь 2008)

[rightways]

Определите все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами такие, что для любого рационального $r$ уравнение $P(x)=r$ имеет рациональное решение.

[Null]

Подходят линейный функции с рациональными коэффициентами.
Если степень многочлена больше 1 тогда:
1.$P(x)=n$, где $n\in \mathbb{N}$ имеет решение при любом $n$. Тогда все коэффициенты многочлена - рациональные числа.
2.Знаменатели рациональных решений ограниченны, так как они делители произведения первого коэффициента многочлена умноженного на НОК знаменателей всех коэффициентов.
3. При больших $n$ действительных будет 1 действительное решение.(многочлен обязан быть нечетной степени) Если $P(x_1(n))=n$, $P(x_2(n))=n+1$ , то разность между $x_2$ и $x_1$ стремится к 0(здесь используется то что степень многочлена больше 1), но это не возможно в силу пункта 2.