Задача по стереометрии

[vanger]

Есть такая стандартная задачка. В основании призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный треугольник. $AB=AC, \; \angle ABC = \beta, \; BC = a$. Точка $A_1$ равноудалена от сторон нижнего основания. Рёбра наклонены к плоскости $ABC$ под углом $\gamma$. На рёбрах $B B_1$ и $A A_1$ отмечены точки $K$ и $N$, причём $B_1 K : KB = 1 : 3$, $A_1 N : NA = 3 : 4$. Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.

Про основание знаем всё. Ясно, что $A_1$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Из этого и угла наклона ребра находится высота призмы. Так что про призму тоже всё знаем. А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Маленький кусок -- пирамида $C_1 A_1 B_1 N K$ -- пирамида общего положения -- плохо.

Большой кусок -- не пойми что. Можно продолжить $C_1 K$ до пересечения с прямой $C A$ (пусть точка пересечения $Q$) и так же поступить с $C_1 N$ и $C B$ (точка пересечения $P$) и рассмотреть пирамиду $C_1 Q P$, содержащую большой кусок, надеясь, что посчитать объём лишней части пирамиды -- вне призмы -- легко посчитается. Но нет, там тоже ничего хорошего.

[gris]

Можно рассмотреть похожую задачу на плоскости: прямая делит две параллельных стороны прямоугольника (параллелограмма) в отношениях $a:b$ и $c:d$. В каком отношении она делит площадь прямоугольника? А если тут применить эту задачу? Призму можно на бочок положить.

[Skeptic]

Положите призму на грань $ABB_1A_1$ и рассмотрите получившиеся пирамиды.

[TOTAL]

vanger в сообщении #929965 писал(а):

Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.

Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)

[Munin]

vanger в сообщении #929965 писал(а):

А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Через векторы проще всего.

[provincialka]

Согласна с gris. Последняя часть задачи аффинная, так что форма и размеры призмы не имеют значения. "Верхняя" часть (которая пирамида) имеет объем $\frac13 S_1\cdot h$ и составляет от всей призмы долю $\frac23\cdot\frac{S_1}{S}$. Здесь $S_1$ - площадь трапеции $A_1NKB_1$, а $S$ - площадь грани $AA_1B_1B$. Высота проводится к этой грани из вершины $C_1$

[vanger]

gris в сообщении #929976 писал(а):

Можно рассмотреть похожую задачу на плоскости: прямая делит две параллельных стороны прямоугольника (параллелограмма) в отношениях $a:b$ и $c:d$. В каком отношении она делит площадь прямоугольника? А если тут применить эту задачу? Призму можно на бочок положить.

Да, точно. Спасибо! Это наблюдение облегчает нахождение площади $A_1 B_1 N K$, сводя к вычислению параллелограмма. Высота же, опущенная из $C_1$ без труда находится из высоты в треугольнике $A_1 B_1 C_1$ и угла между основанием и боковой гранью, который тоже легко ищется.

TOTAL в сообщении #930010 писал(а):

vanger в сообщении #929965 писал(а):

Найти объёмы тел, на которые рассекает призму плоскость $KNC_1$.

Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)

И что будет, если сложить? У них же чёрт знает какое пересечение. Идея про передвижение точки понятна.

Munin в сообщении #930030 писал(а):

vanger в сообщении #929965 писал(а):

А как малой кровью найти объём одного из кусков, на которые рассекается призма, неясно.

Через векторы проще всего.

С помощью смешанного произведения посчитать объёмы тетраэдров $C_1 A_1 B_1 N$ и $C_1 A_1 K N$ (или преобразовать четырёхугольник к параллелограмму, с помощью идеи выше, и посчитать лишь для одного)?

В первую очередь хотелось бескоординатного решения. Но это, конечно, мысль, и, даже, наиболее удобно, на мой взгляд.

provincialka в сообщении #930082 писал(а):

Согласна с gris. Последняя часть задачи аффинная, так что форма и размеры призмы не имеют значения.$[/math]

Можно чуть подробнее раскрыть тему про аффинность?

[TOTAL]

vanger в сообщении #930345 писал(а):

TOTAL в сообщении #930010 писал(а):

Сложите объем пирамид $ABCK, ABCN, ABCC_1$
(Если точку $K$ сдвинуть вверх по ребру на 1 см, а точку $N$ сдвинуть вниз по ребру на 1 см, то искомые объемы не изменятся.)

И что будет, если сложить? У них же чёрт знает какое пересечение. Идея про передвижение точки понятна.

Если идея про передвижение точек понятна, то две точки опускайте по своим ребрам на основание призмы, а оставшуюся точку двигайте вверх по своему ребру. Нижняя часть превратится в пирамиду (объем которой равен сумме объемов трех указанных пирамид).

Площадь трапеции равна среднему арифметическому параллельных сторон, умноженному на длину поперечного сечения.

И в этой задаче объем нижней фигуры равен среднему арифметическому параллельных ребер (трех боковых), умноженному на площадь поперечного (ребрам) сечения.

[Munin]

vanger в сообщении #930345 писал(а):

С помощью смешанного произведения посчитать объёмы тетраэдров

Нет, векторы - на этапе вычисления, где какая плоскость какую прямую пересекает. Они для этого очень удобны.

Отношение объёмов, кстати, векторы тоже могут подсказать безо всяких координат, потому что сводят задачу к аффинной. Вот конкретные объёмы - через векторы считать не много смысла, конечно же. Тут проще "основание на высоту".

[provincialka]

vanger в сообщении #930345 писал(а):

Можно чуть подробнее раскрыть тему про аффинность?

К аффинным относятся задачи, связанные с параллельностью прямых и плоскостей, а также с делением в некотором отношении отрезков, площадей и объемов. В интернете есть информация, например, мне понравилась эта. Если задача аффинная, можно, применив аффинное преобразование, сделать треугольник правильным или прямоугольным, а призму прямой. Одна неприятность: до этого надо доказать все свойства аффинных преобразований.

Но можно поступить и по-другому: зная, что задача аффинная, выбирать такие же методы решения. Например, искать не абсолютные величины объемов, площадей, а только их отношения.
Если считать основанием грань $AA_1B_1B$ и ее части, то высота $H$ и пирамиды и всей призмы совпадают. Так зачем же нам знать, чему она равна?
Объем пирамиды равен $\frac13S_1H$, призмы - $\frac12SH$, так что их отношение равно $\frac23\frac{S_1}{S}$

Последнее отношение находится аналогичными соображениями. Там получаются площади трапеции и параллелограмма с общей высотой.

[Munin]

provincialka в сообщении #930380 писал(а):

К аффинным относятся задачи, связанные с параллельностью прямых и плоскостей, а также с делением в некотором отношении отрезков, площадей и объемов.

Я скажу проще: это задачи, в которых условие не изменится, если весь чертёж "перекосить" операцией сдвига. Соответственно, и рассуждения, и решение тоже от этого не изменятся.

[Skeptic]

Наглядно познакомиться с аффинными преобразованиями можно в графическом редакторе, если он допускает просмотр объёкта с любой точки. Например, в Автокаде есть команда 3dorbit, вызываемая "Вид -3D Орбита".

[Munin]

Ещё проще можно с ними познакомиться, если взять обычный графический редактор, и "спараллелограммить" прямоугольник. Разумеется, такие преобразования, как поворот, сдвиг, масштабирование, - тоже аффинные.