Подскажите простые прикладные задачки на комплексные числа.

[AAA1111]

Какие есть самые простые практические (прикладные) задачи на комплексные числа?
Желательно как можно ближе к обычной жизни и понятные даже обывателю.
Но такие, чтобы без использования комплексных чисел их было не решить.

[warlock66613]

Комплексное число всегда можно искусственно заменить парой/матрицей действительных чисел. Так что "чтобы было не решить" не получится.

-- 10.11.2014, 21:10 --

Ничего нагляднее расчёта цепи переменного тока в голову не лезет. Собственно, обыватели невесть сколько веков обходились даже без отрицательных чисел, а без действительных (кроме рациональных) обходятся и по сей день.

[Утундрий]

Балк М.Б. и др."Реальные применения мнимых чисел", 1988 г.

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #929303 писал(а):

Какие есть самые простые практические (прикладные) задачи на комплексные числа?

Вчера или позавчера на форуме проскакивал интеграл вида $\int e^{ax}\sin bx\,dx$. Найдите его без нудного интегрирования по частям.

(Сомневаться в прикладной значимости интеграла не стоит. У интегралов с экспонентами она всяко есть!)

[Munin]

AAA1111 в сообщении #929303 писал(а):

Какие есть самые простые практические (прикладные) задачи на комплексные числа?
Желательно как можно ближе к обычной жизни и понятные даже обывателю.

Сколько стоит $10+4i$ килограмм картошки, по цене $\exp(3-15i)$ руб. за килограмм?

warlock66613 в сообщении #929328 писал(а):

Ничего нагляднее расчёта цепи переменного тока в голову не лезет.

Я бы предложил осциллятор с затуханием. Там резонанс, там леший бродит, русалка на ветвях висит...

[AAA1111]

warlock66613 в сообщении #929328 писал(а):

Комплексное число всегда можно искусственно заменить парой/матрицей действительных чисел. Так что "чтобы было не решить" не получится.

А что проще комплексные числа или матрицы?
Бритва Оккама в этом случае уместна?
Если да, то тогда добавим уточнение "чтобы по иному проще было не решить."

arseniiv в сообщении #929462 писал(а):

Сомневаться в прикладной значимости интеграла не стоит. У интегралов с экспонентами она всяко есть!

warlock66613 в сообщении #929328 писал(а):

Собственно, обыватели невесть сколько веков обходились даже без отрицательных чисел, а без действительных (кроме рациональных) обходятся и по сей день.

Ну, допустим обыватель у нас продвинутый.
И строго говоря нужна ситуация, реальная жизненная ситуация такая,
попав в которую ему без комплексных чисел проблему было бы не решить (ну или хотя бы не решить более простым способом).
Конкретный пример нужен.
Задачи на переменный ток подходят, но неужели нет ничего проще?

Утундрий в сообщении #929395 писал(а):

Балк М.Б. и др."Реальные применения мнимых чисел", 1988 г.

Спасибо, посмотрю.

Munin в сообщении #929531 писал(а):

Сколько стоит $10+4i$ килограмм картошки, по цене $\exp(3-15i)$ руб. за килограмм?

Уточним, что условие задачи само по себе не содержит комплексной и тому подобной сложной терминологии.
Т.е. оно должно быть сформулировано на бытовом, простом языке, с минимумом математической терминологии.

[arseniiv]

AAA1111 в сообщении #929638 писал(а):

А что проще комплексные числа или матрицы?

Можно сказать, что матрицы «сложнее», т. к. там четыре компоненты, хотя независимых, как и прежде, две. Но цена этого утверждения, на мой взгляд, никакая, потому что в любом случае для ясного применения придётся знать не только, скажем, закон умножения, но и почему он так выглядит, и т. п.. С точки зрения письма руками, матрицы неудобнее комплексных чисел — факт. Ну а так-то они изоморфны.

[Munin]

AAA1111 в сообщении #929638 писал(а):

Задачи на переменный ток подходят, но неужели нет ничего проще?

Задачи на спин электрона - это для вас проще или сложнее? :-)

Для меня проще, например.

А вообще: ну и что такого, что какой-то матаппарат нужен для сложных задач, и не нужен для простых? Вот например, бесконечномерное гильбертово пространство и операторы в нём - нужны для задач квантовой механики, и не нужны для расчёта сдачи в магазине и для расчёта затрат бензина на поездку.

AAA1111 в сообщении #929638 писал(а):

Уточним, что условие задачи само по себе не содержит комплексной и тому подобной сложной терминологии.

Я надеялся, вы хоть улыбнётесь...

[arseniiv]

(Кстати, вот это:

arseniiv в сообщении #929462 писал(а):

(Сомневаться в прикладной значимости интеграла не стоит. У интегралов с экспонентами она всяко есть!)

тоже было шуткой. Не важно, что с долей правды.)

[amon]

Через комплексные числа ищутся корни (вещественные) уравнений 3-й и 4-й степени с помощью формул, придуманных Тортильио и украденных Кардано, чьим именем они сейчас и называются. Бытовую задачку, сводящуюся к кубическому уравнению, можете придумать сами.

[nnosipov]

amon в сообщении #929712 писал(а):

Бытовую задачку, сводящуюся к кубическому уравнению, можете придумать сами.

Ничего не имею против Кардано (и Феррари заодно), даже наоборот, но зачем они в быту, где за глаза хватит любого приближённого метода поиска корней? Не говоря уже о том, что можно тупо приложить транспортир (например).

[Munin]

Я всегда думал, что его звали Тарталья.

[amon]

Munin в сообщении #929719 писал(а):

Я всегда думал, что его звали Тарталья.

Скорее всего, так и было.

А решить кубическое уравнение с помощью транспортира дано не каждому, хотя можно. Проще формулы Кардано в википедии посмотреть.

[Someone]

В электротехнике цепи переменного тока с помощью комплексных чисел рассчитываются.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Один мой знакомый трудился на кафедре Политэкономии моей Альма-Матер. Тогда ещё она была сугубо Марксистско-Ленинская, а не так, как теперь, когда они перешли на американский учебник, при переводе которого в СССР одну из восьми глав, как раз про марксизм, выбросили, так что американские студенты марксизм учат, а наши нет... Люди, что характерно, остались те же (как и на кафедре Истории КПСС, ставшей кафедрой Истории Украины - очень легко перешли, диссертации у всех про "Борьба партии с украинским буржуазным национализмом", так что знаки поменять и всё...; и на прочих идейно нас поучавших кафедрах...)
И вот поругались на кафедре два профессора. Насмерть. Причём оба с заслугами и, что ещё важнее, со связями. У одного больше по научно-административной линии, у другого больше по партийной, но большие и там, и там. И Начальство принимает соломоново решение ребёнка разрубить назначить и.о. завкафедрой молодого доцента. Который, не дурак, понимает, что в таких условиях профессора помирятся, и парадным блюдом на банкете примирения будет тушка доцента. Поэтому надо срррочно писать докторскую.
Метода написания тамошних диссертаций нам всем знакома по "Трём мушкетёрам". Диссертация Арамиса, в варианте иезуитского священника. Берётся Священный Текст, и трактуется в Правильном Духе. Текст должен быть не заезжен, но несомненно Священен. Поэтому доцент спускается в рудникибиблиотеку и находит книгу "Теории Прибавочной Стоимости" АКА "4-й том Капитала" - собрание рабочих заметок Маркса. Сканирует на предмет цитат и находит фразу "Капитал также может прирастать за счёт амортизационных отчислений" (кто не знает - это деньги, откладываемые на замену оборудования за срок его службы). Её, цитату, уже сотни Учёных Глаз видели, и рассуждали ("Может, сам Классик сказал" - "Отнюдь, уважаемый коллега неверно толкует Классика, он имел в виду прямо противоположное" - и так сотни страниц, в лучшем стиле, сочетающем ясность Гегеля с учтивостью драки на базаре...), поэтому нужно трактование новое и оригинальное, чай, докторская, не любительскаякандидатская.
Вот он ко мне и приходит, не можешь ли, мол, дать математический ответ на загадку - "Прирастает ли?". А мы как раз с приятелями за рюмкой кофе рассуждали - как бы Нобелевку-другую отхватить? Математикам вообще не дают, литераторам и миротворцам дают, но потом стыдно, в физике капиталовложения нужны - в "сургучно-веревочном стиле" уж не поработаешь, зверушек в биологии жалко, химия вредна, медицина наука сугубо кастовая... Остаётся экономика! А там уж и алгоритм виден - берём раздел математики, ещё в экономику не приткнутый, притыкаем первыми - и вуаля! Вона, Леонтьев матрицы обращать умел, Канторович с Данцигом про неравенства знали, Эрроу немного матлогики употребил - доказав невозможность демократии... В общем, решили мнимые числа прицепить - и на этом выехать!
Ну, вот и задача для мнимых чисел поспела, от страждущего Доцента. Записываем динамику капитала с учётом амортизационных отчислений, как уравнение в конечных разностях, строим вспомогательное алгебраическое уравнение - а корни-то у него как раз комплексны, мнимая часть означает, что колебания в решении имеются, пара теоремок, чтобы показать, что корни все простые, и все (кроме равного единице) - меньше единицы по модулю (т.е. колебания затухающие), установившийся уровень в бесконечности больше начального - ответ готов!
Жаль, грянула перестройка. Профессора - один помре от огорчения, второй уехал, доцент и без докторской стал Профессором; так я и не послушал, как мнимые числа в высокоидейной науке играют роль, и не попил коньячку на банкете. Нобелевки тоже жалко. Но всё равно не получилось бы - кто-то до меня уже такое придумал, в похожей задаче, и на Нобелевку не раскрутил. Ну ничего, ещё трансфинитные числа есть. Остаётся их употребить. Для экономической науки. А?
http://samlib.ru/m/masherow_e_l/politek.shtml