Анализ функции, на знаки производных

[sup]

Да, я имел в виду именно что "большие" $n$. В принципе, если это верно, то "малые" $n$ можно проверить доказательными вычислениями.
Хочу отметить, что это пока что не совсем строгие рассуждения. Надо бы их тщательно проверить.

[Kenelm]

sup
У меня при размышлении над Вашей схемой доказательства возникли два вопроса:
1. При сходимости $F_n(x)$ к $\tilde{F}(\tau)$ точки максимума (в случае, если их много) должны "притянуться" к $\tau_0$ быстрее, чем участок вогнутости превратится в $[0, \tau_0 +\varepsilon]$. Надо ли это доказывать или нет? Извините, я наверное, очень криво объясняю.
2. Как методом доказательных вычислений можно доказывать вогнутость функции на заданном интервале $[0,\tau_0]$? Легко доказать, что $\tilde{F}''(0) <0$ и $\tilde{F}''(\tau_0) <0$. На надо еще доказать, что у $\tilde{F}''(\tau) $ на этом интервале нет корней. В принципе несложно численно найти корень второй производной и показать, что он больше, чем $\tau_0$, но как доказывать, что он единственный? По-видимому нужен анализ на условия Липшица, а это приводит нас к необходимости анализировать 3-ю производную и, далее, получается замкнутый круг.
Буду благодарен, если Вы мне сможете эти два момента растолковать!

[sup]

Давайте сначала разберемся с предельной функцией и доказательными вычислениями.
$\tilde{F}(\tau) = \tau e^{-\tau} \sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}\ln(i+1) - \tau \ln \tau$.
Функция задана рядом. Мы можем просуммировать сколько-угодно членов с контролем ошибки, но это будет лишь неким приближением. Для того, чтобы оценить точность вычислений, мы должны уметь оценивать величину отброшенного "хвоста"
$R_n(\tau) = \tau e^{-\tau} \sum\limits_{i=n}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}\ln(i+1)$
Оценка должна быть вычислимой. Ну, например,

$\frac{\ln(n+k+1)}{(n+k)!} \leqslant \frac{1}{(n-1)!k!} $

А значит

$R_n(\tau) \leqslant \tau e^{-\tau} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\tau^{n+k}}{(n -1)!k!} = \frac{\tau^{n+1}}{(n -1)!}$

Но это лишь пример. Вы можете выбрать какую-нибудь другую оценку. Таким образом, Вы можете вычислять эту функцию с какой угодно точностью.
Аналогично этому, можно вычислять и ряд для функции $\tilde{F}''(\tau)$. Для "малых" $\tau$ ничего вычислять не надо, поскольку слагаемое $-1/\tau$ будет преобладать. А вот для других $\tau$ надо уже проводить вычисления.
План такой.
1. Организуем вычисления $\tilde{F}(\tau)$ с контролем ошибки в точках $\tau_k$ с "небольшим" шагом. Надежно фиксируем интервал с небольшим запасом, содержащий точку максимума. Запас нам необходим для оценок $F_n(x)$. (Наверняка вторая производная отрицательна не только вплоть до т. максимума, но и немного дальше). Убеждаемся, что максимум больше 0.5. (Вы упоминали что-то вроде 0.58).
2. Предварительно в этих же точках считаем и $\tilde{F}''(\tau)$. Убеждаемся, то производная действительно отрицательная.
3. Теперь надо это ДОКАЗАТЬ. Для этого теоретически оцениваем третью производную в промежутке между точками и тогда можно оценить значение $\tilde{F}''(\tau)$ в промежуточных точках по т. Лагранжа. И снова годится оценка хвоста. Более того, точная оценка не потребуется, если уже ясно, что производная меньше 0. Величина третьей производной как раз и определит тот самый шаг между $\tau_k$.
4. В результате всех этих действий должно получиться, что функция $\tilde{F}(\tau)$ достигает максимума в некой точке $\tau_0$, которую мы можем указать с нужной точностью. Для некоторого $\tau_1 > \tau_0$ на интервале $(0, \tau_1)$ функция $\tilde{F}''(\tau)$ отрицательна. Это, кстати, гарантирует единственность т. максимума.

И вот уже после этого, можно будет заняться предельным переходом.

[Kenelm]

sup
Спасибо, я, кажется, разобрался с предлагаемой Вами методикой доказательных вычислений! Действовал следующим образом:
1. Для третьей производной $F'''(\tau)$ нашел оценку снизу на всем интервале $\tau \in [0, \infty)$. Очень грубую, но все-таки конечную.
2. Нашел оценку для "хвоста" ряда $F''(\tau)$. Тоже, по-видимому, грубоватую, но при быстродействии нынешних ЭВМ вполне допустимую.
3. Далее, учитывая погрешности отбрасываемого хвоста показал, что $F''(2) < 0$.
4. Учитывая оценку снизу на $F'''(\tau)$ начал двигаться от точки $\tau = 2$ по направлению к нулю. Каждый раз выбирая шаг так, чтобы $F''(\tau)$ "вдруг" не стала положительной. Так потихоньку дошел до нуля и во всех точках $F''(\tau)$ была отрицательной. Значит $F''(\tau) < 0$ как минимум на интервале $[0,2]$.
5. Т.к. $F(\tau)$ содержит максимум в точке $\tau \approx 1.38$, то исходное утверждение доказано.

Теперь хотелось бы понять, надо ли как-то отдельно сравнивать скорости сходимости исходной функции и ее второй производной к предельным?

[sup]

Ну, я не специалист по доказательным вычислениям, но действовал бы примерно так же как и Вы.
Насчет скоростей сходимости - не понял вопрос. А зачем их сравнивать? Мне кажется, что это ни к чему. Если только Вас не интересует какое-то более конкретное поведение $F_n(x)$.

[Kenelm]

sup
Я просто попытался представить себе эту картинку со сходимостью $F_n(x)$ к $\tilde{F}(\tau)$ и одновременно $F''_n(x)$ к $\tilde{F}''(\tau)$ и возник следующий образ : предположим, что максимумов у функции при конечном $n$ - несколько, а $F''_n(x) < 0$ на интервале $[0,\varepsilon_n ]$. И при сходимости получается так, что один из максимумов все время "выскакивает" за диапазон $[0,\varepsilon_n ]$. Т.е. максимумы "притягиваются" к $\tau_0$ медленно, а участок "отрицательности" $F''_n(x)$ превращается в $[0,\tau_0 + \varepsilon]$ быстро.

По-видимому, при достаточно больших $n$ такого уже не может возникнуть, но не надо ли это как-то отдельно обосновывать (сказать на этот счет какие-нибудь "правильные" слова )?

[sup]

Правильные слова я уже произносил
Повторюсь.
Пусть $x_n$ - какой-нибудь максимум функции $F_n(x)$. Обозначим $y_n = nx_n$. Тогда с ростом $n$ возможны два варианта.
Либо последователь $y_n$ ограничена,
либо имеется неограниченная подпоследовательность.
Второй случай невозможен, поскольку там возникают значения не больше $1/2$, в то время как при $y_n \approx \tau_0$ значения будут близки к $0.58$.
Но в первом случае, когда последовательность $y_n$ ограничена, имеет место приближенное равенство
$F_n(y_n) \approx \tilde F(y_n)$
Следовательно $y_n$ должны быть близки к $\tau_0$. И, чем больше $n$, тем в меньшую окрестность $\tau_0$ они попадают. Формально, точек максимума там может быть много. Но на самом деле максимум один, потому, что в этой области $F''_n(y_n) \approx \tilde F''(y_n) < 0$.
Я не совсем понял ваш пример, поэтому опишу, что там происходит на самом деле.
Для всякого "большого" $n$ можно рассмотреть $F_n(\tau_0/n)$. В силу известных Вам формул, эта величина близка к $0.58$. Это означает, что максимум уж никак не меньше, скажем, $0.57$. Как я уже много раз говорил, это означает, что $y_n = nx_n < A$ для некоторого достаточно большого $A$ (иначе мы не получим ничего больше $1/2$). Но при условии $nx_n < A$ имеет место сходимость $F_n(y_n) \to \tilde F(y_n)$. Это означает, что максимум может достигаться лишь для $y_n$ в малой окрестности $\tau_0$. И эта окрестность с ростом $n$ становится все меньше и меньше. А вот вторая производная $\tilde F''(\tau) < 0$ в некоторой фиксированной окрестности $\tau_0$. Помните, я упоминал про необходимость небольшого запаса? Следовательно, рано или поздно, все максимумы будут попадать в область $\tilde F''(y_n) < 0$, а значит и $F''_n(y_n) < 0$. В силу чего максимум ровно один.
Формальное доказательство выглядит примерно так.
Рассмотрим точки, в которых достигается максимум $F_n(x)$ и среди них выберем максимальную. Обозначим ее $x_n$. Обозначим $y_n = nx_n$. Докажем , что последовательность $y_n$ ограничена. От противного. Если это не так, то выберем неограниченную подпоследовательность, на ней имеет место сходимость к $1/2 - x_n$. В то же самое время, $F_n(\tau_0/n) > 0.57$. Значит $x_n$ не является максимумом. Противоречие.
Итак, последовательность $y_n$ ограничена. Но тогда это же справедливо и для всех точек максимума (раз уж справедливо для наибольшей). При этом условии $F_n(z_n) \to \tilde F(nz_n)$ для любой точки максимума $z_n$. Это означает, что $nz_n \to \tau_0$. А там есть сходимость и второй производной и она там знак не меняет, а значит максимум ровно один.

[Kenelm]

sup
Я понял, благодарю за терпение! :)

(Оффтоп)

А в каком разделе математики изучают такого рода рассуждения? :) Мат. анализ?