Распространение акустического сигнала

[d_integral]

Здравствуйте!
Стыдно обращаться с таким "школьным" вопросом, но хочется уточнить - заранее благодарю за ответ.

Есть цилиндрическая акустическая волна в воде, распространяется в плоскости тонкого диска. Во времени - это короткий импульс, известна начальная амплитуда (давления), форма сигнала, могу найти его спектр.
Все это известно для расстояния R1 от оси. Нужно найти форму и амплитуду на расстоянии R2.
Затухание в воде при распространении учитываю по формуле Франсуа и Гаррисона ( http://resource.npl.co.uk/acoustics/tec ... ysics.html )
Считаю спектр начального импульса, умножаю его на коэффициент затухания
$e^{- \alpha (R_2 - R_1)}$,
делаю обратное преобразование Фурье и получаю новую зависимость давления от времени.

Так вот, нужно ли мне этот результат еще умножать на фактор
$\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$
(из-за того что для цилиндрические волны пропорциональны $\frac{1}{R}$ , асимптотикам функций Бесселя) ? И если да, то на это мне нужно умножать функцию от времени, или спектр? Вроде как в ряд по функциям Бесселя раскладывается решение цилиндрического уравнения с конкретным волновым числом (частотой), поэтому, возможно, это нужно учитывать на уровне спектра..
Да, знаю, по хорошему, надо вспомнить курс урматов, но, каюсь, лень.

[d_integral]

То есть верно ли, что если $P_1(t)$ - зависимость давления от времени на расстоянии $R_1$, то на расстоянии $R_2$ будет $P_2(t) = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \cdot ifft (e^{-\alpha (R_2-R_1)} \cdot fft(P_1) )$
где fft - прямое преобразование Фурье, ifft - обратное
?

[d_integral]

Да, сигнал у меня дискретизирован, и вычисления в Matlab.
Частота дискретизации исходного известна, и правильно понимаю, что частота дискретизации полученного $P_2$ будет той же?

--
Уже не могу поправить первое сообщение в теме, там опечатка:
асимптотика функций Бесселя $\sqrt{\frac1{R}}$, конечно.

[upgrade]

а вы попробуйте простейший сигнал в экселе в графике посмотреть, скажем $\sin x+\sin2x$, с Вашим коэффициентом затухания. и сравните два спектра - один полученный из точек затухающего сигнала, второй - полученный преобразованием спектра из точек $\sin x+\sin2x$ и умноженный на коэффициент затухания. если спектры одинаковые, значит не требуется доп коэффициент.

[d_integral]

upgrade, как-то не очень понимаю..

Цитата:

один полученный из точек затухающего сигнала

но ведь чтобы найти затухающий сигнал, мне нужно умножить его спектр на коэффициент затухания, и взять обратное преобразование
P = ifft (fft (P) ) - верно.

Вопрос в том, нужно ли мне учитывать геометрию? То, что сначала, грубо говоря, энергия акустической волны приходилась на площадь $2\pi LR_1$, а потом стала на $2\pi LR_2$ , где L - "толщина" диска, который представляет собой фронт волны.

[d_integral]

Все, думаю, что у меня наконец получилось! :)

По амплитуде давления, кажется, сходится, и на геометрический фактор $\sqrt{R_1/R_2}$ действительно умножать нужно, а делать это на уровне спектра или уже посчитанного затухшего сигнала - не важно.

Есть вопрос с частотами. Правильно понимаю, что если у меня NF - число отсчетов для быстрого преобразования Фурье, то сам массив частот будет

Используется синтаксис Matlab M

f = [(0:(NF/2-1))/NF*Fs -(NF/2):-1:1/NF*Fs]

,
где Fs - частота дискретизации исходного сигнала?
Понимаю, что вопрос больше по математике и Matlab-у, чем по физике...
Для этого набора частот я и считаю коэффициенты затухания, почленно перемножаю массивы, потом беру обратное преобразование Фурье. Получается примерно следующее


так меняется спектр (без учета $\sqrt{R_1/R_2}$ ) и сам сигнал (с учетом геометрического фактора).

Импульс должен "расплываться", из-за того, что высокие частоты затухают сильнее, вроде так оно и есть, и по амплитуде уменьшается насколько нужно.