Ряд Дирихле.

[hassword]

Дано
$\zeta_a(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$ и $\zeta_b(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n^s}$
Найти $\zeta_c(s)=\zeta_a(\zeta_b(s))$

[RIP]

Ряда Дирихле может и вообще не быть. Скажем, если взять классическую дзета-функцию Римана $\zeta(s)$, то очевидно, что $\zeta(\zeta(s))$ нигде в ряд Дирихле не раскладывается (хотя бы потому что $\lim\limits_{s\to+\infty}\zeta(\zeta(s))=+\infty$).

[hassword]

RIP в сообщении #927856 писал(а):

Ряда Дирихле может и вообще не быть.

Пока что только формально разложить надо. А ограничения потом.

[RIP]

Достаточно разобраться со случаем $\zeta_a(s)=n_0^{-s}$. Тогда

$$n_0^{-\sum_{n=1}^\infty b_nn^{-s}}=n_0^{-b_1}\prod_{n=2}^\infty\exp\left(-b_nn^{-s}\ln n_0\right)=n_0^{-b_1}\prod_{n=2}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-b_n\ln n_0)^k}{k!(n^k)^s}.$$

Произведение сходится, но вряд ли для коэффициентов можно получить какую-нибудь красивую формулу без кратных сумм.