2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность линейного оператора
Сообщение07.11.2014, 03:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Задан оператор $T: L^2([0;1]) \to \l^2$, действующий по правилу $Tf = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, где $x_n = n^{\alpha}\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt.$ Нужно показать, что данный оператор будет непрерывен при $\alpha<0.$

То есть, нужно получить оценку $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2\alpha}(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^2 \leq C\|f\|_{L^2([0;1])}$ для некоторого $C>0.$
Был совет: применить неравенство Гёльдера. Но проблема в том, что если забрать хоть кусочек от степени $(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^2$, то оставшийся в сумме интеграл даст расходимость, а именно верно следующее: $\forall\varepsilon \in (0;2) \  \exists \delta \in (0;\frac12) : \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2\alpha}(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^{2-\varepsilon}=+\infty$ для $f(t)=t^{-\delta} \in L^2([0;1])$ и достаточно малых $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность линейного оператора
Сообщение07.11.2014, 03:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
$\int_0^\frac{1}n f(t)\,dt =\int_0^1f(t)g(t)\,dt$, где $g(t)=1, \, t\in [0, \frac{1}n ]$.
И применяйте. Не забудьте только, что в правой части норма в $L_2$ тоже в квадрате. Как и в левой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность линейного оператора
Сообщение07.11.2014, 04:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
demolishka в сообщении #927687 писал(а):
Был совет: применить неравенство Гёльдера.

А зачем советчик называет Коши с Буняковским Гёльдером, раз уж 2?...

Не надо ничего откусывать -- доказываемое утверждение вполне грубое: интеграл тупо оценивается через $n^{-\frac12}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group