Непрерывность линейного оператора

[demolishka]

Задан оператор $T: L^2([0;1]) \to \l^2$, действующий по правилу $Tf = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, где $x_n = n^{\alpha}\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt.$ Нужно показать, что данный оператор будет непрерывен при $\alpha<0.$

То есть, нужно получить оценку $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2\alpha}(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^2 \leq C\|f\|_{L^2([0;1])}$ для некоторого $C>0.$
Был совет: применить неравенство Гёльдера. Но проблема в том, что если забрать хоть кусочек от степени $(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^2$, то оставшийся в сумме интеграл даст расходимость, а именно верно следующее: $\forall\varepsilon \in (0;2) \ \exists \delta \in (0;\frac12) : \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{2\alpha}(\int\limits_0^{\frac1n}f(t)dt)^{2-\varepsilon}=+\infty$ для $f(t)=t^{-\delta} \in L^2([0;1])$ и достаточно малых $\alpha$.

[Otta]

$\int_0^\frac{1}n f(t)\,dt =\int_0^1f(t)g(t)\,dt$, где $g(t)=1, \, t\in [0, \frac{1}n ]$.
И применяйте. Не забудьте только, что в правой части норма в $L_2$ тоже в квадрате. Как и в левой.

[ewert]

demolishka в сообщении #927687 писал(а):

Был совет: применить неравенство Гёльдера.

А зачем советчик называет Коши с Буняковским Гёльдером, раз уж 2?...

Не надо ничего откусывать -- доказываемое утверждение вполне грубое: интеграл тупо оценивается через $n^{-\frac12}$.