Элементарная геометрия 6

[Phaenomenon]

Прямая, параллельная основаниям $BC‍$ и $AD‍$ трапеции $ABCD$,‍ пересекает боковые стороны $AB‍$ и $CD‍$ в точках $M‍$ и $N$,‍ а диагонали $AC‍$ и $BD$ —‍ в точках $K‍$ и $L‍$ соответственно.
а) Докажите, что $MK = NL$.‍
б) Найдите $MN$,‍ если известно, что $BC = 10,‍ AD = 18$ и $MK : KL = 1 : 2$.‍

Рисунок:


а) Напрашиваются подобия. Для начала немного формальности. Поскольку $MK$ и $LN \in MN$ следовательно они параллельны основаниям тоже. Теперь можно рассмотреть треугольники, в которых содержаться $MKA и DLN$ (ведь все сводится к их равенству). Пока догадался только до этого. Они подобны и все такое, но это мне не докажет их равенство. Было бы неплохо это как-то связать с равновеликостью треугольников $BOA$ и $COD$.

б) Так как мы уже доказали, что $MK = LN = x$, следовательно, $2x = KL$, следовательно $MN = 4x$. Треугольник $AMK ~ ABC$ и $ABD ~ MBL$ . $\frac{ 10 }{ x } = \frac{ AB }{ MB } ; \frac{ 18 }{ 3x } = \frac{ BD }{ BL }$. Пока только до этого догадался. Но способ мне как-то мой не понравился: все-таки подобия -- это скучно. Я подумаю про другой, а пока хотя бы так решить

[VAL]

Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):

Прямая, параллельная основаниям $BC‍$ и $AD‍$ трапеции $ABCD$,‍ пересекает боковые стороны $AB‍$ и $CD‍$ в точках $M‍$ и $N$,‍ а диагонали $AC‍$ и $BD$ —‍ в точках $K‍$ и $L‍$ соответственно.
а) Докажите, что $MK = NL$.‍
б) Найдите $MN$,‍ если известно, что $BC = 10,‍ AD = 18$ и $MK : KL = 1 : 2$.‍

Рисунок:


а) Напрашиваются подобия. Для начала немного формальности. Поскольку $MK$ и $LN \in MN$ следовательно они параллельны основаниям тоже. Теперь можно рассмотреть треугольники, в которых содержаться $MKA$ и $DLN$ (ведь все сводится к их равенству). Пока догадался только до этого. Они подобны и все такое, но это мне не докажет их равенство.

Не докажет. Нарисуйте трапецию, заведомо непохожую на равнобокую.

Цитата:

Было бы неплохо это как-то связать с равновеликостью треугольников $BOA$ и $COD$.

В этом нет необходимости. Теоремы Фалеса и подобия двух пар треугольников вполне хватит.

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):

Но способ мне как-то мой не понравился: все-таки подобия -- это скучно. Я подумаю про другой, а пока хотя бы так решить

Подобия здесь - самый подходящий метод. Но если скучно, почитайте про аффинные преобразования. Потому что задача у вас аффинная. Аффинным преобразованием трапецию можно превратить в равнобокую, а там уже действует симметрия (это к п. а). Но только сначала надо доказать свойства аффинных преобразований.
В п. б) все равно надо что-то считать, так что без подобия не обойдешься.

-- 06.11.2014, 22:06 --

(Оффтоп)

шепотом: а сколько решений у задачи

[Phaenomenon]

provincialka, хм, аффинная говорите? Я думаю, что мне пока излишне такого рода информация, но как я теперь могу спокойно спать, когда существует такой способ? Я знаком с линейной алгеброй и достаточно хорошо умею к ней апеллировать. Сейчас перед моими глазами ангем Постникова с единственной темой про аффинную геометрию -- изоморфность аффинного пространства. Пока нигде не вижу доказательств и "магических" преобразований. Не могли бы Вы провести для меня наикратчайший экскурс?

[provincialka]

Хм... Насколько краткий? Я предпочитаю рассказывать школьникам об аффинной геометрии в солнечный день, когда на полу лежат пятна света. Хотя окно прямоугольное, пятно света имеет форму параллелограмма. Потому что лучи солнца (практически) параллельны, а параллельная проекция сохраняет параллельность прямых.
Но она не сохраняет углы и равенство расстояний (как мы видим на тени).
Так что с помощью солнечных лучей можно совместить тень одного треугольника с другим (произвольным) треугольником.

Впрочем, кое-какие равенства такая проекция сохраняет: равенства параллельных отрезков. А также пропорции между такими отрезками. Поэтому любую трапецию параллельным проектированием можно перевести в любую другую с тем же отношением сторон. В частности, в равнобочную.

К аффинной геометрии относятся все свойства параллелограмма, теорема Фалеса, теоремы о средних линиях, медиана, гомотетия, подобие треугольников с параллельными сторонами и т.п. Красивые (и двойственные друг другу) теоремы Чевы и Менелая также относятся к числу аффинных.

Давным-давно я публиковала статью на популярном уровне (для учителей) по этим вопросам, а также книжечку. Если напишете (в личку) свой адрес, могу прислать. Впрочем, этот вопрос должен быть освещен в литературе.

-- 08.11.2014, 04:10 --

Вот, нашла ссылку. Вроде, там все хорошо написано.

[longstreet]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #928084 писал(а):

Я предпочитаю рассказывать школьникам об аффинной геометрии в солнечный день

Это прекрасно!

[gris]

(Оффтоп)

Представил себе аниме: урок геометрии, ученики завороженно слушают монотонные объяснения мудрой учительницы, одетой в строгий английский костюм. И вдруг она замечает, что солнечные пятна от окон из привычных параллелограммов превратились в неравнобокие трапеции. Она понимает всё. И понеслось!

[Skeptic]

Phaenomenon
Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?

[Evgenjy]

Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):

Поскольку $MK$ и $LN \in MN$

Небольшое замечание. Знак $\in$ здесь совершенно не уместен. Можно написать: Поскольку $MK$ и $LN$ коллиниарны $MN$. И ли совсем по-русски: Поскольку $MK$, $LN$ и $MN$ лежат на одной прямой.

[Phaenomenon]

VAL в сообщении #927557 писал(а):

В этом нет необходимости. Теоремы Фалеса и подобия двух пар треугольников вполне хватит.

Сначала долго не мог понять, откуда здесь взяться Фалесу, но все же дорисовав этот угол, все встало на свои места. Спасибо

provincialka
У Вас своеобразный метод объяснения -- мне нравится. То есть аффинное преобразование это некого рода топология на поверхности?

Skeptic в сообщении #928121 писал(а):

Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?

Как коэффициент подобия одного треугольника к другому?

-- 08.11.2014, 12:56 --

Evgenjy в сообщении #928144 писал(а):

Небольшое замечание. Знак $\in$ здесь совершенно не уместен.

Спасибо, учту. Но все же хотелось бы узнать: а почему?

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #928158 писал(а):

То есть аффинное преобразование это некого рода топология на поверхности?

Ну-у-у... Я бы так не сказала. Топология - это структура, а преобразование есть преобразование.

А вообще, это не я так излагаю, лавры принадлежат Феликсу Клейну. В геометрии уже более ста лет "модно" говорить на языке инвариантов и изоморфизмов. При этом изоморфизмы - это преобразования, образующие группу. А инварианты - те объекты (понятия, теоремы) которые сохраняются при таких преобразованиях.

В этом смысле можно говорить, что топологические свойства - те, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Это в некотором смысле "самая бедная геометрия". Добавляя в нее некоторые понятия, можно получить последовательно проективную, аффинную и евклидову геометрии, которые вложены друг в друга. Есть и другие геометрии, какие-то совместимы между собой, другие - нет.

"Мое" в этой теме разве что попытка сделать ее наглядной на примере света и теней.

-- 08.11.2014, 16:07 --

Если интересуетесь, погуглите "Эрлангенская программа".
Впрочем, будьте осторожны. У меня одним из первых в списке оказался весьма странный сайт, на странице которого утверждается, что

Цитата:

в проективной геометрии инварианты - уже не расстояния между точками, не величина и форма геометрической фигуры, а только форма, - соотношения между расстояниями, треугольник при проективном преобразовании может стать меньше, по остается подобным себе.

Полная чушь! Даже аффинное преобразование меняет форму, а проективное запросто переводит окружность в гиперболу: какое уж тут подобие!

[Skeptic]

Phaenomenon в сообщении #928158 писал(а):

Skeptic в сообщении #928121 писал(а):

Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?

Как коэффициент подобия одного треугольника к другому?

Сравните отношения элементов в треугольниках.