2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Элементарная геометрия 6
Сообщение06.11.2014, 19:56 


24/03/14

113
Прямая, параллельная основаниям $BC‍$ и $AD‍$ трапеции $ABCD$,‍ пересекает боковые стороны $AB‍$ и $CD‍$ в точках $M‍$ и $N$,‍ а диагонали $AC‍$ и $BD$ —‍ в точках $K‍$ и $L‍$ соответственно.
а) Докажите, что $MK = NL$.‍
б) Найдите $MN$,‍ если известно, что $BC = 10,‍ AD = 18$ и $MK : KL = 1 : 2$.‍

Рисунок:
Изображение

а) Напрашиваются подобия. Для начала немного формальности. Поскольку $MK$ и $LN \in MN$ следовательно они параллельны основаниям тоже. Теперь можно рассмотреть треугольники, в которых содержаться $MKA и DLN$ (ведь все сводится к их равенству). Пока догадался только до этого. Они подобны и все такое, но это мне не докажет их равенство. Было бы неплохо это как-то связать с равновеликостью треугольников $BOA$ и $COD$.

б) Так как мы уже доказали, что $MK = LN = x$, следовательно, $2x = KL$, следовательно $MN = 4x$. Треугольник $AMK ~ ABC$ и $ABD ~ MBL$ . $\frac{ 10 }{ x } = \frac{ AB }{ MB }  ; \frac{ 18 }{ 3x } = \frac{ BD }{ BL }$. Пока только до этого догадался. Но способ мне как-то мой не понравился: все-таки подобия -- это скучно. Я подумаю про другой, а пока хотя бы так решить :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение06.11.2014, 20:22 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):
Прямая, параллельная основаниям $BC‍$ и $AD‍$ трапеции $ABCD$,‍ пересекает боковые стороны $AB‍$ и $CD‍$ в точках $M‍$ и $N$,‍ а диагонали $AC‍$ и $BD$ —‍ в точках $K‍$ и $L‍$ соответственно.
а) Докажите, что $MK = NL$.‍
б) Найдите $MN$,‍ если известно, что $BC = 10,‍ AD = 18$ и $MK : KL = 1 : 2$.‍

Рисунок:
Изображение

а) Напрашиваются подобия. Для начала немного формальности. Поскольку $MK$ и $LN \in MN$ следовательно они параллельны основаниям тоже. Теперь можно рассмотреть треугольники, в которых содержаться $MKA$ и $DLN$ (ведь все сводится к их равенству). Пока догадался только до этого. Они подобны и все такое, но это мне не докажет их равенство.
Не докажет. Нарисуйте трапецию, заведомо непохожую на равнобокую.
Цитата:
Было бы неплохо это как-то связать с равновеликостью треугольников $BOA$ и $COD$.
В этом нет необходимости. Теоремы Фалеса и подобия двух пар треугольников вполне хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение06.11.2014, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):
Но способ мне как-то мой не понравился: все-таки подобия -- это скучно. Я подумаю про другой, а пока хотя бы так решить
Подобия здесь - самый подходящий метод. Но если скучно, почитайте про аффинные преобразования. Потому что задача у вас аффинная. Аффинным преобразованием трапецию можно превратить в равнобокую, а там уже действует симметрия (это к п. а). Но только сначала надо доказать свойства аффинных преобразований. :wink:
В п. б) все равно надо что-то считать, так что без подобия не обойдешься.

-- 06.11.2014, 22:06 --

(Оффтоп)

шепотом: а сколько решений у задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 02:17 


24/03/14

113
provincialka, хм, аффинная говорите? Я думаю, что мне пока излишне такого рода информация, но как я теперь могу спокойно спать, когда существует такой способ? Я знаком с линейной алгеброй и достаточно хорошо умею к ней апеллировать. Сейчас перед моими глазами ангем Постникова с единственной темой про аффинную геометрию -- изоморфность аффинного пространства. Пока нигде не вижу доказательств и "магических" преобразований. Не могли бы Вы провести для меня наикратчайший экскурс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хм... Насколько краткий? Я предпочитаю рассказывать школьникам об аффинной геометрии в солнечный день, когда на полу лежат пятна света. Хотя окно прямоугольное, пятно света имеет форму параллелограмма. Потому что лучи солнца (практически) параллельны, а параллельная проекция сохраняет параллельность прямых.
Но она не сохраняет углы и равенство расстояний (как мы видим на тени).
Так что с помощью солнечных лучей можно совместить тень одного треугольника с другим (произвольным) треугольником.

Впрочем, кое-какие равенства такая проекция сохраняет: равенства параллельных отрезков. А также пропорции между такими отрезками. Поэтому любую трапецию параллельным проектированием можно перевести в любую другую с тем же отношением сторон. В частности, в равнобочную.

К аффинной геометрии относятся все свойства параллелограмма, теорема Фалеса, теоремы о средних линиях, медиана, гомотетия, подобие треугольников с параллельными сторонами и т.п. Красивые (и двойственные друг другу) теоремы Чевы и Менелая также относятся к числу аффинных.

Давным-давно я публиковала статью на популярном уровне (для учителей) по этим вопросам, а также книжечку. Если напишете (в личку) свой адрес, могу прислать. Впрочем, этот вопрос должен быть освещен в литературе.

-- 08.11.2014, 04:10 --

Вот, нашла ссылку. Вроде, там все хорошо написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 04:24 


28/11/11
2884

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #928084 писал(а):
Я предпочитаю рассказывать школьникам об аффинной геометрии в солнечный день

Это прекрасно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429

(Оффтоп)

Представил себе аниме: урок геометрии, ученики завороженно слушают монотонные объяснения мудрой учительницы, одетой в строгий английский костюм. И вдруг она замечает, что солнечные пятна от окон из привычных параллелограммов превратились в неравнобокие трапеции. Она понимает всё. И понеслось!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 10:59 


01/12/11

1047
Phaenomenon
Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 12:09 


13/08/14
349
Phaenomenon в сообщении #927550 писал(а):
Поскольку $MK$ и $LN \in MN$

Небольшое замечание. Знак $\in$ здесь совершенно не уместен. Можно написать: Поскольку $MK$ и $LN$ коллиниарны $MN$. И ли совсем по-русски: Поскольку $MK$, $LN$ и $MN$ лежат на одной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 12:55 


24/03/14

113
VAL в сообщении #927557 писал(а):
В этом нет необходимости. Теоремы Фалеса и подобия двух пар треугольников вполне хватит.


Сначала долго не мог понять, откуда здесь взяться Фалесу, но все же дорисовав этот угол, все встало на свои места. Спасибо :-)

provincialka
У Вас своеобразный метод объяснения -- мне нравится. То есть аффинное преобразование это некого рода топология на поверхности?

Skeptic в сообщении #928121 писал(а):
Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?

Как коэффициент подобия одного треугольника к другому?

-- 08.11.2014, 12:56 --

Evgenjy в сообщении #928144 писал(а):
Небольшое замечание. Знак $\in$ здесь совершенно не уместен.


Спасибо, учту. Но все же хотелось бы узнать: а почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Phaenomenon в сообщении #928158 писал(а):
То есть аффинное преобразование это некого рода топология на поверхности?

Ну-у-у... Я бы так не сказала. Топология - это структура, а преобразование есть преобразование.

А вообще, это не я так излагаю, лавры принадлежат Феликсу Клейну. В геометрии уже более ста лет "модно" говорить на языке инвариантов и изоморфизмов. При этом изоморфизмы - это преобразования, образующие группу. А инварианты - те объекты (понятия, теоремы) которые сохраняются при таких преобразованиях.

В этом смысле можно говорить, что топологические свойства - те, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Это в некотором смысле "самая бедная геометрия". Добавляя в нее некоторые понятия, можно получить последовательно проективную, аффинную и евклидову геометрии, которые вложены друг в друга. Есть и другие геометрии, какие-то совместимы между собой, другие - нет.

"Мое" в этой теме разве что попытка сделать ее наглядной на примере света и теней.

-- 08.11.2014, 16:07 --

Если интересуетесь, погуглите "Эрлангенская программа".
Впрочем, будьте осторожны. У меня одним из первых в списке оказался весьма странный сайт, на странице которого утверждается, что
Цитата:
в проективной геометрии инварианты - уже не расстояния между точками, не величина и форма геометрической фигуры, а только форма, - соотношения между расстояниями, треугольник при проективном преобразовании может стать меньше, по остается подобным себе.
Полная чушь! Даже аффинное преобразование меняет форму, а проективное запросто переводит окружность в гиперболу: какое уж тут подобие!

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная геометрия 6
Сообщение08.11.2014, 16:47 


01/12/11

1047
Phaenomenon в сообщении #928158 писал(а):
Skeptic в сообщении #928121 писал(а):
Через точку $O$ проведите отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, и параллельный основанию. Как точка $O$ делит этот отрезок?
Как коэффициент подобия одного треугольника к другому?
Сравните отношения элементов в треугольниках.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group