2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел (не уверен в ответе)
Сообщение07.09.2007, 01:53 
Дан предел:
$\lim\limits_{x \to 0}ln\left(2 + \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}\right)$
Предел заносим под знак логорифа, двойку выносим получается

$ln\left(2 + \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}\right)$
Рассмотрим: $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}$
если подставляеть вместо Х 0, $\arctg 0 = 0$, и так как фанкция $\sin{\frac 1 x}$ имеет свои пределы [-1;+1], то можем предположить, $\sin{\frac 1 x} \cdot arctg 0 = 0$, тогда $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}} = 0$ и $\lim\limits_{x \to 0}ln\left(2 + \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}\right) = \ln 2$

верно?

 
 
 
 
Сообщение07.09.2007, 07:13 
Да, вроде верно. Синус предела не имеет, но неопределённости не возникает.

 
 
 
 
Сообщение07.09.2007, 08:37 
Аватара пользователя
Марк писал(а):
если подставляеть вместо Х 0, $\arctg 0 = 0$, и так как фанкция $\sin{\frac 1 x}$ имеет свои пределы [-1;+1], то можем предположить, $\sin{\frac 1 x} \cdot arctg 0 = 0$, тогда $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}} = 0$ и $\lim\limits_{x \to 0}ln\left(2 + \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}\right) = \ln 2$

верно?
Ответ - верный, но его обоснование не вполне корректно. При вычислении предела $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}} = 0$ лучше прямо сослаться на теорему о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функций.

 
 
 
 
Сообщение07.09.2007, 15:33 
Brukvalub писал(а):
Ответ - верный, но его обоснование не вполне корректно. При вычислении предела $\lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\arctg x \cdot \sin{\frac 1 x}} = 0$ лучше прямо сослаться на теорему о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функций.

а функция $\sin{\frac 1 x}$ имеет границы [-1;+1]???
или почему она ограничена???

 
 
 
 
Сообщение07.09.2007, 15:53 
Да, именно поэтому.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group