Пересечение пространств Lp

[demolishka]

Пусть $1 \leq p < q < r \leq \infty$ и $f \in L^p(\mathbb{R}) \cap L^r(\mathbb{R}).$
Нужно показать, что $\|f\|_{L^q(\mathbb{R})} \leq C(\|f\|_{L^p(\mathbb{R})} + \|f\|_{L^r(\mathbb{R})})$ для некоторой константы $C$.

Неравенство $\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^qdt \leq \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^pdt + \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^rdt$ очевидно, если рассмотреть $\mathbb{R}$ как $E_1 \cup E_2$, где $|f(t)| \geq 1$ на $E_{1}$ и $|f(t)| < 1$ на $E_{2}$.
Но вот как заполучить нужные показатели - непонятно.

[sup]

А Вы помните, как из неравенства Юнга получают неравенство Гельдера?

[demolishka]

sup в сообщении #926552 писал(а):

А Вы помните, как из неравенства Юнга получают неравенство Гельдера?

Неравенство Юнга: $ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$, где $a,b \geq 0$ и $\frac1p+\frac1q = 1$.

Положим $A = (\int\limits_{X} |f|^p d\mu)^\frac1p$ и $B = (\int\limits_{X} |g|^q d\mu)^\frac1q$.
Применяем неравенство Юнга для $a=\frac{|f|}{A}$, $b=\frac{|g|}{B}$ и интегрируем его. Получается неравенство Гёльдера.

[sup]

А откуда такие "странные" $A,B$ взялись?
Все немного проще. Надо применить неравенство Юнга для функций $\lambda f$ и $g /\lambda$ и минимизировать правую часть по $\lambda$.
Аналогично и в данном случае.

[demolishka]

sup в сообщении #926589 писал(а):

А откуда такие "странные" $A,B$ взялись?
Все немного проще. Надо применить неравенство Юнга для функций $\lambda f$ и $g /\lambda$ и минимизировать правую часть по $\lambda$.
Аналогично и в данном случае.

С применением такого подхода к доказательству неравенства Гёльдера я разобрался. Но вот как поступать в данном случае - ума не приложу. У нас $p,q,r$ - произвольные. Я пытался разложить $|f|^q = |f|^{h_1}|f|^{h_2}$ и применить неравенство Юнга(пока без $\lambda$):

$$|f|^q \leq \frac{|f|^{h_1 t_1}}{t_1} + \frac{|f|^{h_2 t_2}}{t_2}$$

Наложив условия $h_1 t_1 = p$, $h_2 t_2 = r$ и $\frac1t_1 + \frac1t_2 = 1$. Но подходящих решений у этой системы уравнений нет.

[sup]

Идея вполне аналогичная. У Вас есть неравенство

$$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^qdt \leq \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^pdt + \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^rdt$$

Оно справедливо для любых $f(t)$. Ну а теперь подставьте в него $f(t) = \lambda g(t)$.
В результате Вы получите мультипликативную оценку, которая даже сильнее чем требуемое неравенство.

[demolishka]

sup в сообщении #926944 писал(а):

Идея вполне аналогичная. У Вас есть неравенство

$$\int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^qdt \leq \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^pdt + \int\limits_{\mathbb{R}} |f(t)|^rdt$$

Оно справедливо для любых $f(t)$. Ну а теперь подставьте в него $f(t) = \lambda g(t)$.
В результате Вы получите мультипликативную оценку, которая даже сильнее чем требуемое неравенство.

Из мультипликативной оценки с помощью неравенства Юнга получилась искомая.
В очередной раз говорю Вам большое спасибо за помощь.

[sup]

(2demolishka)

А теперь, товарищи, позвольте процитировать самого себя (С)(Приписывается Л.И.Брежневу)
Возможно Вас заинтересует дальнейшее развитие этого нехитрого приема. Тогда можно глянуть вот сюда

[demolishka]

Задался вопросом, что же будет при $r=\infty$.
Даже если удастся показать, что неравенство $(\|f\|_{L^q})^q \leq (\|f\|_{L^p})^p + (\|f\|_{L^r})$ верно и в этом случае (а на самом деле вроде как оно не верно для функций больших единицы на достаточно большом отрезке - как раз не хватает корня, чтобы погасить преимущество $|f^q|$), то потом не удастся применить неравенство Юнга.

[sup]

Для $r = \infty$ имеется тривиальная оценка сверху

$\int |f|^q dx = \int |f|^{q-p} |f|^pdx \leqslant \dots$