компактное множество

[Abay]

Множества $A,B$ и $C$ компактны в нормированном пространстве. Доказать что компактно множество $A-2B+3C$ всех точек вида , где $a \in A, b \in B, c \in C$
Определение: Множество $E \in R^n $ называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E.
Помогите решить или дайте совет как решить.

[provincialka]

У вас любое нормированное пространство, или именно $R^n $? В $n$-мерном пространстве есть и другой способ определить/проверить компактность.

[ewert]

Abay в сообщении #926455 писал(а):

Помогите решить или дайте совет как решить.

Советую использовать эквивалентное (для нормированных пространств) определение компактности: если из любой последовательности элементов множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу этого же множества.

[мат-ламер]

Если два множества компактны, то и их декартово произведение компактно. Операция сумма есть непрывная функция, заданная на призведении пространств. Непрерывный образ компакта - компакт. Произведение компакта на число доказывается аналогично, учитывая, что это число, т.е. точка есть компакт на числовой прямой.