
,

- идеал поля K. Пусть

Задание: доказать, что

- нормальная подгруппа в

.
Если принять, что

группа, то легко доказать, что она нормальная, а вот то, что она группа, в частности то, что для каждого элемента существует обратный в множестве

, у меня не получилось доказать. Подробнее вот:
Обратная матрицы матрицы

можно записать как

, где

и

детераминант матрицы без i-строчки и j-стобика.
Так как каждый элемент из

имеет вид

, то ясно, что элементы на местах

лежат в

, а элементы по диагонале вида

, где

. Легко проверить, что и

лежат в

, потому что на диагоналях этих матриц один из элменетов вида

, остальные

, где

. Следовательно среди слагаемых определителей этих матриц не выскочит

, тогда как одно из слагаемых определителей матриц

будет

, где

.
Это было бы неплохо и мы могли бы разложить любую обратную матрицу на некоторую матрицу

, но обратную матрицу надо ещё разделить на

и это рушит все планы, потому вычленить единичку у всех диагональных элементов получится разве что если определитель матрицы

будет равен

.