Сужение сигма-алгебры.

[AMapyaK]

Пусть $\Omega$ - множество произвольной природы, $\mathcal{M} \subset 2^\Omega$ - некоторое семейство его подмножеств, $\sigma_\Omega (\mathcal{M})$ - минимальная сигма-алгебра подмножеств $\Omega$, содержащая данное семейство. Определим сужение семейства $\mathcal{M}$ на какое-то подмножество $F \subset \Omega$ по следующей формуле:

$\mathcal{M}|_F := \left \{ M\cap F \ \mid M \in \mathcal{M} \right \}$

Легко установить, что

$\sigma_F (\mathcal{M}|_F) \subset \sigma_\Omega (\mathcal{M})|_F

Будет ли в общем случае справедливо обратное включение?

Интуитивно кажется, что да, поскольку для счётных объединений и пересечений это так. Но минимальная сигма-алгебра ими не исчерпывается.

[RIP]

Рассмотрите множество $\{M\in\sigma_\Omega(\mathcal M)\mid M\cap F\in\sigma_F(\mathcal M|_F)\}$ и докажите, что это сигма-алгебра.

[AMapyaK]

RIP, спасибо, разобрался.

$\mathcal A = \{M\in\sigma_\Omega(\mathcal M)\mid M\cap F\in\sigma_F(\mathcal M|_F)\}$

Поскольку $\mathcal A \subset \sigma_\Omega(\mathcal M)$ - сигма-алгебра и $\mathcal M \subset \mathcal A$, справедливо $ \mathcal A = \sigma_\Omega(\mathcal M)$, откуда

$M \in \sigma_\Omega (\mathcal M )|_F \Rightarrow \exists \hat M \in \sigma_\Omega (\mathcal M ): \hat M \cap F = M \Rightarrow$
$\Rightarrow \hat M \in \mathcal A \Rightarrow M = \hat M \cap F \in \sigma_F(\mathcal M|_F)$

и $ \sigma_\Omega (\mathcal{M})|_F \subset \sigma_F (\mathcal{M}|_F)$

Мне приходило в голову решение с использованием аксиомы выбора, но без неё, конечно, намного лучше.

[RIP]

Это стандартный трюк, называется "метод подходящих множеств".