Помогите, пожалуйста, разобраться.
С одной стороны, существует всем известное достаточное условие строгой монотонности функции в точке: "Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и её производная в этой точке f'(x) положительна (отрицательна), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке c." С другой, существует функция
![\[
f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + 2x^2 \cdot \sin \frac{1}
{x}, x \ne 0 \hfill \\
0, x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/2/7a228b4a83771838b2d46f7ba758a35c82.png "\[
f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + 2x^2 \cdot \sin \frac{1}
{x}, x \ne 0 \hfill \\
0, x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]")
, производная которой
![\[
f'(x) = \left\{ \begin{gathered}
1 + 4x \cdot \sin \frac{1}
{x} - 2 \cdot \cos \frac{1}
{x}, x \ne 0 \hfill \\
1, x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/a/3aac4de80fef60d503bedfccd3f22e2882.png "\[
f'(x) = \left\{ \begin{gathered}
1 + 4x \cdot \sin \frac{1}
{x} - 2 \cdot \cos \frac{1}
{x}, x \ne 0 \hfill \\
1, x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]")
, и эта функция принимает в любой окрестности нуля как положительные, так и отрицательные значения, т.е. не монотонна ни в какой окрестности нуля, точки, в которой её производая положтельна.
. Посмотрите, как это неравенство выглядит на графике.