2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Противоречие с достаточным условием строгой монотонности...
Сообщение02.09.2007, 16:34 
Помогите, пожалуйста, разобраться.
С одной стороны, существует всем известное достаточное условие строгой монотонности функции в точке: "Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и её производная в этой точке f'(x) положительна (отрицательна), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке c." С другой, существует функция
\[
f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  x + 2x^2  \cdot \sin \frac{1}
{x},        x \ne 0 \hfill \\
  0,                            x = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\], производная которой
\[
f'(x) = \left\{ \begin{gathered}
  1 + 4x \cdot \sin \frac{1}
{x} - 2 \cdot \cos \frac{1}
{x},       x \ne 0 \hfill \\
  1,                    x = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\], и эта функция принимает в любой окрестности нуля как положительные, так и отрицательные значения, т.е. не монотонна ни в какой окрестности нуля, точки, в которой её производая положтельна.

 
 
 
 
Сообщение02.09.2007, 19:17 
Аватара пользователя
:evil:
Вы не путаете условие монотонности в точке и в окрестности?

В точке 0 функция монотонно возрастает.

В любой окрестности 0 функция не монотонна.

Вроде противоречия нет.

Добавлено спустя 13 минут 23 секунды:

Чтобы нагляднее понять, что происходит, заметьте, что при любом $x$ $x-2x^2 \leq f(x) \leq x+2x^2$. Посмотрите, как это неравенство выглядит на графике.

 
 
 
 
Сообщение02.09.2007, 19:58 
незваный гость, спасибо

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group