Секреты дизайна задач

[kp9r4d]

Хотелось бы спросить людей, которые придумывают задачи на олимпиады или своим студентам: как вы их придумываете? Понятно, что процесс это очень творческий и вряд ли этому можно в каком-то виде научить, но хотелось бы всё-таки услышать какие-нибудь мелкие тонкости, вроде того, откуда черпаете вдохновение и идеи.

[denisart]

Вычерпываю элементы больших задач или исследовательских задач. Просто придумываю задачи из головы. Еще вдохновляюсь просто просматривая задачи. Часто составляю задачи совместно с кем-то, и это часто получается продуктивно.

[bot]

Всё так, а ещё ворую, ... творчески, то есть переделываю. Идею беру, а формулировку изменяю до почти полной неузнаваемости или дорабатываю сырую задачу. Главное в этом деле - постоянная нацеленность. Если она есть, то и из бреда на форуме задачку вытащить можно.
Примеры этого года -

IMC
Problem 1 вытащил из бреда на этом форуме (чёт по поиску не нашёл по ключевому слову диагональ Кантора) Нашёл - клиент опровергал Кантора на примере натурального ряда.
Problem 3 лёгкая доработка сыроватой. Как потом выяснилось, нашлись люди, которые сделали это раньше (или сами придумали)

А пройдусь-ка я по свежачку

XXXII Межвузовская ...

1 курс.
Задача 1 для $x,y,z$ так стара, что даже я помню со школьных времён.
Задачу 2 думал, что придумал сам. Ага, щас, одному из не так уж молодых проверяющих она попалась на устном вступительном экзамене в НГУ.
Задача 3 - переделка своей же.
Задача 4 - за час до раздачи срочно потребовалась замена (совершенно глупо прокосячил в решении лёгкой по замыслу задачки). Из-за нехватки времени ткнул куда-то на этот форум и взял совсем без перделки. А я и сейчас решения заменённой задачи не знаю, более того, начинаю думать, что она не верна.
Задача 5 - вроде на вступительных в НГУ была, сам же и предлагал. Заодно с 4-й эта тоже взамен появилась. В прежней задаче логический перебор был ... в общем - пуганая ворона куста боится, да и решение прежней длиннее, а их ведь мне для отчёта писать.

2-4 курсы с профилирующей математикой.
Задача 1 - переделка № 2570 из Демидовича. На мой взгляд даже проще получилась.
Задача 2 - такие делаются от ответа к началу, незамысловатая поделка ремесленника.
Задача 4 - над формулировкой помучился (что дано и что надо) и всё-тки косячок в условии обнаружился только после раздачи условий. Исправлял обходом аудиторий.
Задача 5 - 6-й пост здесь
Кстати, автор темы Коба - это небезызвестный Профессор Снэйп

2-4 курсы без профилирующей математики
Ну там комментировать нечего - главное было нечаянно не пережать.

[VAL]

bot в сообщении #923476 писал(а):

Главное в этом деле - постоянная нацеленность.

Подписываюсь.

[Terraniux]

bot
Еще можно обобщения для идей строить. На это даже небольшая статья И. Шарыгина есть.

[migmit]

Я за свою жизнь придумал только одну олимпиадную задачку. Её, вроде, впихнули куда-то в турнир городов или что-то типа этого. Не интересовался.

Придумалась она так. Я почитывал тогда Джонстона, "Теорию топосов" (в зале мощный храп), в очередной раз вернулся к самому началу и прочёл теорему примерно такого содержания: функтор, имеющий левый сопряжённый, сохраняющий коуравнители рефлексивных пар и отражающий изоморфизмы, является монадическим. Это теорема 0.13, если кому интересно.

Ну и начал придумывать пример. В качестве основной категории возьмём категорию множеств. Дальше, какой у нас простейший (ну, нетривиальный) функтор, имеющий левый сопряжённый? Ага, декартово произведение. Коуравнители сохраняет? Вроде, да. Изоморфизмы отражает? Э... не совсем. Но если выкинуть из категории пустое множество, то да. Ура, получилось.

Теперь смотрим на заключение теоремы. Какая будет монада? Ага, возведение множества в квадрат. А что будет над ней алгеброй? Опа. Множество (непустое, естественно) с одной бинарной операцией. А что говорят аксиомы алгебры? А они переводятся в такое:

$$\varphi(a,a) = a$$

и

$$\varphi(\varphi(a, b), \varphi(c, d)) = \varphi(a, d)$$

Круто. Значит, любое непустое множество с такой операцией — это произведение двух множеств, на котором операция задаётся так:

$$\varphi(\langle a, b\rangle, \langle c, d\rangle) = \langle a, d\rangle$$

Хм, а ведь если в таком множестве ещё и простое число элементов, то это значит, что либо $\varphi(x, y) \equiv x$, либо $\varphi(x, y) \equiv y$

Вот и вышла олимпиадная задачка: доказать, что если в множестве бинарная операция удовлетворяет указанным выше тождествам, и в нём простое число элементов, то эта операция либо тождественно равна первому аргументу, либо тождественно равна второму.

Даже, вроде, решил кто-то.

[kp9r4d]

migmit
Спасибо, интересная история.