Образующие циклической группы

[RrX]

Задание:
Найти все образующие в группе вращений правильного $12$-угольника.

Знаю, что по правилам нужно привести попытки решения, но у меня нет идей.
Очевидно, что одной из них будет поворот на $30$ градусов.

Скорее всего, дело в том, что я ещё не совсем разобрался с понятием образующей( надеюсь разобраться на примере задачи ).

Так-то нужная теория есть.
Образующая $a$ группы $G$ - элемент, имеющий порядок $n$ в группе $G = \{a^{0}, a^{1}, ... a^{n-1}\}$.

-- 24.10.2014, 22:37 --

Имеются в виду вращения без переворотов, при которых $12$-угольник переходит в себя.

Ответ есть( даже док-во, но оно мне непонятно ): повороты против часовой стрелки на 30, 150, 210 и 330 градусов.
Мне не совсем понятно, почему тот же поворот на 60 градусов не будет образующим циклической группы $G = \{0, 60\}$.

[ИСН]

В любой непонятной ситуации начинай копать. ©
Это что за группа, например? Сколько в ней элементов? Вы их все знаете? Ну вот и проверьте для каждого, является ли он образующим. Некоторые будут, а другие нет.

-- менее минуты назад --

Так, поступили обновления. У меня есть ответ на это тоже, но если я его напишу сейчас, Вы его не прочитаете. Выслушайте меня.

[RrX]

Цитата:

Выслушайте меня.

Имеете в виду не отвечать пока на первый? Хорошо, слушаю.

[ИСН]

Так вот, значит, это. Сделайте что я говорю. Тупо проверьте все элементы, вот оно и будет.
Теперь по частностям.

RrX в сообщении #922683 писал(а):

Мне не совсем понятно, почему тот же поворот на 60 градусов не будет образующим циклической группы $G = \{0, 60\}$.

Это что такое за обозначение и что за группа?

[RrX]

Цитата:

Это что такое за обозначение и что за группа?

Множество вращений. Поворачиваем на $60$ градусов 1 раз, если повернуть второй раз, то возвращаемся в первый элемент цикла.

Хотя я понимаю, к чему вы клоните. Подозреваю, что запутался в терминологии "группы вращений".

[RrX]

Вот решение из книжки:
Пусть $a$ —поворот против часовой стрелки на угол ${2\pi}/12$. Тогда все элементы рассматриваемой группы — это $e, a, a_{2}, . . . , a_{11}$. Для того чтобы элемент $ a_{m}$ был образующим, надо, чтобы его порядок был равен $12$, и, следовательно, числа $m$ и $12$ (см. 35) должны быть взаимно просты. Поэтому $a_{m}$ будет образующим при $m = 1, 5, 7 , 11$.

Интуитивно понятно, но всё же...

Цитата:

Для того чтобы элемент $ a_{m}$ был образующим, надо, чтобы его порядок был равен $12$

Почему?

[Otta]

Ну как-то это совсем очевидно. Если его порядок менее двенадцати, то множество всех его степеней состоит из менее чем двенадцати значений.

[RrX]

Otta, всё-таки я чего-то не понимаю в теории тут.
А почему оно обязательно должно состоять из двенадцати? Двенадцать-то мы взяли для поворота на $30$ градусов.

[Otta]

А Вы отвлекитесь от своих поворотов и вспомните определения 1) образующего элемента группы, 2) порядка элемента, 3) порядка группы.

[RrX]

Otta,
Порядок элемента $a$ - наименьшее число $n$, для которого выполняется $a^{n} = e$, где $e$ - единичный элемент группы.
Порядок группы для конечных групп - количество элементов группы.
Образующий элемент циклической группы - элемент, для которого выполняется $a^{n} = e$, порождающий группу $e, a_{1}, a_{2}, ... , a_{n-1}$.

Естественно, для каждой циклической группы порядок будет разным. А группа вращений многоугольника так вообще бесконечна( или нет? )

[Otta]

Нет. Группа вращений многоугольника - эта группа таких вращений, которая многоугольник переводит в себя. Различая вершины. Тут у Вас много путаницы. Нарисуйте его и пронумеруйте вершины, что ли.

[ИСН]

RrX в сообщении #922737 писал(а):

Множество вращений. Поворачиваем на $60$ градусов 1 раз, если повернуть второй раз, то возвращаемся в первый элемент цикла.

Если повернуть второй раз на $60^\circ$, то мы окажемся повёрнуты на $120^\circ$. Типа того: $A\to\rotatebox{240}{A}$. Что означают Ваши слова о том, что мы якобы куда-то возвращаемся? Куда это, как это?

[RrX]

Цитата:

Нет. Группа вращений многоугольника - эта группа таких вращений, которая многоугольник переводит в себя. Различая вершины. Тут у Вас много путаницы. Нарисуйте его и пронумеруйте вершины, что ли.

Но для группы вращений обязательно, чтобы многоугольник "побывал" на всех своих вершинах?
ИСН, хотел написал $180^\circ$.

[VAL]

RrX в сообщении #922820 писал(а):

Цитата:

Но для группы вращений обязательно, чтобы многоугольник "побывал" на всех своих вершинах?

Это что-то типа "Граф считает все счета на своем счету" $\copyright$

Элементами группы являются не вершины, а повороты многоугольника вокруг центра, при которых многоугольник переходит сам в себя (хотя вершины при этом могут как-то переставляться). При этом два поворота считаются неразличимыми, если они одинаково действуют на все вершины.

Групповой операцией является последовательное выполнение допустимых поворотов.
Тогда нейтральным элементом, очевидно, будет поворот на $0^o$ (или, что то же самое, на угол кратный $360^o$).

Возьмите в качестве начального элемента поворот на $60^o$. Начните последовательно применять этот поворот. Получите ли Вы при этом все элементы исходной группы?

[RrX]

Цитата:

Элементами группы являются не вершины, а повороты многоугольника вокруг центра

Это понятно.

Цитата:

При этом два поворота считаются неразличимыми, если они одинаково действуют на все вершины.

А вот этого не знал.

Цитата:

Получите ли Вы при этом все элементы исходной группы?

Нет. Получится циклическая группа, но элементами её будет лишь $6$ вращений многоугольника, а не все.

Ок, спасибо, необходимость порядка $12$ понятна.