Исследовать на равномерную сходимость

[SlayZar]

Надо равномерную сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)}$ на множестве $E=(-1; \infty)$
$f(x)=\frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)}$
Я нашел производную данной функции $f'(x)=\frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)}$ $ ln (\frac{ln (n+2)}{n})$
Вторая скобка будет отрицательная на $E$, а значит функция убывает и супренум достигается в точке $x=-1$
$sup_\(x \in E\)$ $\frac {ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)} = $ $\frac{1}{ln(n+2)n}$

Дальше пользовался Критерием Коши:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)}$ сходится равномерно тогда и только тогда, когда $sup_\(x \in E\)$ $\left| \sum\limits_{n=k+1}^{m} f_n(x) \right| \to 0$ при $m\to \infty$ и $k\to \infty$
Тогда $sup_\(x \in E\)$$\left| \sum\limits_{n=k+1}^{m} f_n(x) \right| = sup_\(x \in E\)$$ \sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)} = \sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{1}{ln(n+2) n\)} $

Подскажите, пожалуйста, можем ли мы теперь для исследования сходимости полученного ряда исследовать сходимость ряда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ln(n+2) n\)}$ и сказать, что он расходится по интегральному признаку. То есть будет ли из этого следовать, что ряд от $k+1$ до $m$ тоже будет расходиться. Нигде не нашел такого факта, но вроде бы это так...
Ведь если так, то мы можем утверждать, что не выполнен необходимый признак равномерной сходимости, и ряд не сходится равномерно.

Или может быть надо использовать не критерий Коши, а действовать как-то по-другому...

[cool.phenon]

(Оффтоп)

Небольшое замечание, оно сильно не повлияет на решение, но супремум суммы не равен сумме супремумов в общем случае

[SlayZar]

cool.phenon в сообщении #922691 писал(а):

(Оффтоп)

Небольшое замечание, оно сильно не повлияет на решение, но супремум суммы не равен сумме супремумов в общем случае

Да, это получается надо обосновывать,
то есть мой ход решения правилен?
Просто сейчас подумал: при $k \to \infty$ и $m \to \infty$ ряд $\sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{1}{ln(n+2) n\)}$ будет рядом, у которого знаменатели стремятся к бесконечности, а вся сумма похоже к нулю и тогда уже условия критерия Коши выполняется...
Ведь так?

[cool.phenon]

Теперь по сути: раз супремум выражения будет оценен сверху, то даже если ряд и расходится, то это ни о чём не говорит. Нужно правильно посчитать супремум, если решать именно так.

[SlayZar]

cool.phenon в сообщении #922752 писал(а):

Теперь по сути: раз супремум выражения будет оценен сверху, то даже если ряд и расходится, то это ни о чём не говорит. Нужно правильно посчитать супремум, если решать именно так.

Ну ведь производная убывает на всем множестве, значит супренум будет достигаться при наименьшем возможном $x$: в нашем случае - при $x=-1$. Подставляем $x=-1$ и получаем $sup_\(x \in E\)$ $\frac {ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)} = $ $\frac{1}{ln(n+2)n}$
Тут все правильно вроде бы...

[Otta]

SlayZar в сообщении #922756 писал(а):

Ну ведь производная убывает на всем множестве,

Вы хотели сказать, отрицательна.

То, что в граничной точке области ряд расходится, говорит о многом.
Попробуйте доказать следующий полезный результат:

Если ряд $\sum a_n(x)$ сходится равномерно на множестве $(a,b)$, и для каждого $n$ существует $\lim_{x\to b-0} a_n(x)=b_n$, то ряд $\sum b_n$ сходится.

Можно даже еще дополнительно написать, чему равна сумма ряда $\sum b_n$, но Вам это ни к чему.

Результат простенький, он или был где-нить в лекциях, или тривиально доказывается с помощью теорем о перестановке пределов.

-----
Но можно и по критерию Коши, аккуратно только.

[ewert]

SlayZar в сообщении #922675 писал(а):

Тогда $sup_\(x \in E\)$ $\left| \sum\limits_{n=k+1}^{m} f_n(x) \right| = sup_\(x \in E\)$ $ \sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{ln^x(n+2)}{n^\(x+2\)} = \sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{1}{ln(n+2) n} $

Лучше не говорить про супремумы -- это лишняя морока. Достаточно, например, того, что для любых границ суммирования при некоторых иксах будет $ \sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{ln^x(n+2)}{n^{x+2}}>\frac12\sum\limits_{n=k+1}^{m} \frac{1}{ln(n+2) n} $, а это следует просто из равномерной непрерывности по иксам при фиксированных границах.