Мат. анализ: классы функций

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить две задачки:

1) Доказать принадлежность функции $f(x)= x^3-2x^2$ к классу $O(x)$ (при $x \to 0$ ).

2) Доказать принадлежность функции $f(x)= 2x-1$ к классу $O(1)$ (при $x \to 2$ ).


Поиск похожих заданий в интернете привел меня на этот форум, где один из участников советовал посмотреть книгу «Конкретная математика» Д. Кнута.

В этой книге написано:

Цитата:

Запись

$$f(x) = O(g(x))$$

при

$$x \to 0$$

означает, что существуют две константы $C$ и $\epsilon$, такие, что

$$|f(x)| \leqslant C |g(x)|$$

если только

$$|x| \leqslant \epsilon$$

Итак, для первого примера, чтобы доказать

$$f(x)=x^3-2x^2 = O(x)$$

при

$$x \to 0$$

нужно доказать, что, например

$$|x^3-2x^2| \leqslant |x|$$

при

$$|x| \leqslant \frac{1}{10}$$

Для второго примера, чтобы доказать

$$f(x)=2x-1 = O(1)$$

при

$$x \to 2$$

нужно доказать, что, например

$$|2x-1| \leqslant 5 \cdot 1$$

при

$$|x-2| \leqslant \frac{1}{2}$$

Подскажите, пожалуйста, я правильно рассуждаю?

Спасибо!

[Brukvalub]

Слова "нужно доказать" - неуместные, уместнее писать "требуемое будет доказано, если, например, удастся доказать, что"...
Более того, есть и другие способы проверки, которые технически проще. В частности, умножая функцию на непрерывный в предельной точке сомножитель (или даже просто имеющий в этой точке конечный предел), получаем в произведении О-большое от умножаемой функции.

[Limit79]

Brukvalub
Спасибо!