упорядоченное множество

[ivvan]

Цитата:

Определение. Частично упорядоченное множество $(E, \leqslant)$ называется полным, если

1. Из $a\leqslant b$ и $b\leqslant a$ вытекает, что $a=b$.
2. Каждое непустое подмножество $E$ обладает нижней и верхней гранями.

Цитата:

(Тарский) Если $(E, \leqslant)$ - полное частично упорядоченное множество, $f:E\to E$ и из $x\leqslant y$ вытекает, что $f(x)\leqslant f(y)$, то преобразование $f$ обладает неподвижным элементом $x_0$ ($f(x_0)=x_0$), причём множество всех неподвижных элементов содержит свои верхнюю и нижнюю грани.

Будет ли полным ч.у.м. $(E, \leq)$, где

$$E=A\cup\{a,b\}\cup B\; (A,B=\mathbb{N}),$$

$$x\leq y\Leftrightarrow ((x\in A\;\wedge\; y\in B)\vee (x\in A\;\wedge\; y=a,b)\vee (x=a,b\;\wedge\; y\in B)\vee (x,y\in A\;\wedge\; x\leqslant y)\vee (x,y\in B\;\wedge\; x\geqslant y))$$

?

[arseniiv]

У вас не задан порядок на $\{a,b\}$. Если добавить к вашему определению ещё ${}\vee(x=a\wedge y=b)$ или ${}\vee(x=b\wedge y=a)$, то порядок, насколько не ошибаюсь, будет полным.

И, надеюсь, под $A,B=\mathbb N$ вы имели в виду, что $A$ и $B$ — различные копии $\mathbb N$, что записывается, например, как $A = (1,\mathbb N), B = (2,\mathbb N)$.

-- Ср окт 22, 2014 21:05:37 --

Если «склеить» несколько линейных порядков, получится линейный порядок. Дополнительное условие на существование граней тоже должно при склеивании наследоваться.

-- Ср окт 22, 2014 21:08:06 --

А, забыл дописать. Ваш случай (если принять $a<b$) можно представить как склеивание $A\cup\{a\}$ с $\{b\}\cup B$, и второе будет полным, потому что оно с точностью до обращения порядка — первое. Можно показать, что обращение порядка, как и склеивание, не меняет указанного свойства.

[ivvan]

arseniiv в сообщении #921955 писал(а):

У вас не задан порядок на $\{a,b\}$. Если добавить к вашему определению ещё ${}\vee(x=a\wedge y=b)$ или ${}\vee(x=b\wedge y=a)$, то порядок, насколько не ошибаюсь, будет полным.

$a$ и $b$ не могут быть несравнимы?

[arseniiv]

Если будут несравнимы, порядок не будет линейным (утверждение I в определении выше).

-- Ср окт 22, 2014 21:33:15 --

arseniiv в сообщении #921955 писал(а):

что записывается, например, как $A = (1,\mathbb N), B = (2,\mathbb N)$

Извините за ерунду, записывается как $A=\{1\}\times\mathbb N$ и $B=\{2\}\times\mathbb N$.

[ivvan]

Цитата:

Определение. Частично упорядоченным множеством $(E, \leqslant)$ называется непустое множество $E$, между некоторыми элементами которого определено отношение $\leqslant$ такое, что

1. Если $a\leqslant b$ и $b\leqslant c$, то $a\leqslant c$,
2. $a\leqslant a$.

Отношение $\leqslant$ называется отношением порядка в множестве $E$. Вместо $x\leqslant y$ иногда пишут $y\geqslant x$.

[arseniiv]

Но для называния частично упорядоченного множества полным необходима линейность порядка, которая затребована пунктом I в

ivvan в сообщении #921930 писал(а):

Цитата:

Определение. Частично упорядоченное множество $(E, \leqslant)$ называется полным, если

1. Из $a\leqslant b$ и $b\leqslant a$ вытекает, что $a=b$.
2. Каждое непустое подмножество $E$ обладает нижней и верхней гранями.

[ivvan]

Линейность определяется так:

Цитата:

Определение. Линейно упорядоченным подмножеством $F$ частично упорядоченного множества $(E, \leqslant)$ называется такое его подмножество, что для каждой пары $x, y$ элементов из $F$ либо $x\leqslant y$, либо $y\leqslant x$.

[Nemiroff]

Откуда определения? Антисимметричность не указать в определении чума — это странно.
arseniiv, вы не путаете вполне упорядоченное множество и полное частично упорядоченное множество?

[arseniiv]

Nemiroff в сообщении #922000 писал(а):

arseniiv, вы не путаете вполне упорядоченное множество и полное частично упорядоченное множество?

Не, я по определению ТС смотрю, хотя могу путать что-нибудь другое.

[ivvan]

arseniiv
Мне кажется, вы приняли антисимметричность за линейность.

[Nemiroff]

ivvan, откуда определения? Обычно то, что у вас в первом посте, называют не полным частично упорядоченным множеством, а полной решёткой. И теорема, соответственно, о решётках.

[ivvan]

Н.Данфорд, Дж.Шварц "Линейные операторы. Общая теория" Москва 1962

[arseniiv]

ivvan в сообщении #922002 писал(а):

Мне кажется, вы приняли антисимметричность за линейность.

Действительно.

ivvan в сообщении #921995 писал(а):

Линейность определяется так:

Цитата:

Определение. Линейно упорядоченным подмножеством $F$ частично упорядоченного множества $(E, \leqslant)$ называется такое его подмножество, что для каждой пары $x, y$ элементов из $F$ либо $x\leqslant y$, либо $y\leqslant x$.

Тут не написано «разных элементов», а это важно, потому что если $x = y$, условию «либо $x\leqslant y$, либо $y\leqslant x$» удовлетворить невозможно, каким бы ни было отношение $\leqslant$. А так да.

В любом случае, несравнимость $a$ и $b$ влечёт невыполнение I, и множество $A\cup\{a,b\}\cup B$ не будет полным.

-- Ср окт 22, 2014 22:49:07 --

(Про линейность: это, конечно, не оправдание, но меня сбило с толку упоминание I, если $(E,\leqslant)$ дано частично упорядоченным. Тогда I выполняется автоматически! Странно тогда, зачем его требовать. Видимо, определения не совсем обычные.)

[ivvan]

arseniiv в сообщении #922006 писал(а):

несравнимость $a$ и $b$ влечёт невыполнение I

Почему?

[Nemiroff]

ivvan в сообщении #922005 писал(а):

Н.Данфорд, Дж.Шварц "Линейные операторы. Общая теория" Москва 1962

Мда. Ладно, вот скажите, а множество $(\mathbb{N}, \leq)$, где порядок стандартный (больше-меньше), оно является "полным" чумом?